Comme une considération tout à fait singulière m’a conduit à la solution de ce problème, que j’aurais d’ailleurs jugé presque impossible, je crois que cette découverte pourra devenir d’une grande importance dans la nouvelle partie du Calcul intégral dont la Géométrie vous est redevable.
Voilà, Monsieur et très honoré Confrère, un théorème de la plus grande importance, et un problème très difficile à résoudre :
Theorema. – Si formula
casu
et
prœbeat numerum primum
tunc omnes numeri primi in formula
quin etiam in hac formula generaliori
contenti, simul erunt numeri formœ
N. B. Demonstratio adhuc desideratur.
Problema. - Invenire duos numerus quorum productum, tam summa quam differentia sive auctum sive minutum, fiat quadratum
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}xy+x+y=&\Box ,\qquad &xy-x-y=&\Box ,\\xy+x-y=&\Box ,&xy-x+y=&\Box .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbaaa5ddff032a9bf0ba771797ea8701fc4760b)
Solutio. – Quærantur duo numerorum paria
et
ut formulæ
![{\displaystyle 2pq\left(p^{2}-q^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)\qquad {\text{et}}\qquad 2rs\left(r^{2}-s^{2}\right)\left(r^{2}+s^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0b2230b7d7ea788cf93c8babbceb4a406897d3)
teneant rationem quadrati ad quadratum. Tum enim numerorum quæsitorum alter erit
alter vero
Conditio præscripta impletur sumendo
et
tum enim eris
![{\displaystyle {\frac {2pq\left(p^{2}-q^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)}{2rs\left(r^{2}-s^{2}\right)\left(r^{2}+s^{2}\right)}}={\frac {1}{36}}=\Box .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4241206a64b8766ea9b57e1a3d47de037187c8b0)
Hinc ergo numeri quæsiti erunt
et
(Au-dessous de la dernière ligne on lit, de la main de Lagrange, Répondue.)
Cette réponse manque.