2o
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donc
![{\displaystyle d\mathrm {B} =dp\,d(p'q')\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {B} ={\frac {1}{2}}d\left(p^{2}q'\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3918b5ae6f77188e8f341c726256b33edac1f958)
donc
![{\displaystyle {\mathfrak {B}}={\frac {1}{2}}d\left(p^{2}r'\right)={\frac {1}{2}}d\left(p^{2}p'q'\right)={\frac {1}{1.2.3}}d^{2}\left(p^{3}q'\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b99581a3a83f093868a290d3232531692822d940)
3o
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donc
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {1}{1.2.3}}d^{2}\left(p^{3}q'\right)\quad {\text{et}}\quad {\mathfrak {C}}={\frac {1}{1.2.3}}d^{2}\left(p^{3}r'\right)={\frac {1}{1.2.3.4}}d^{3}\left(p^{4}q'\right)+\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe6ac39932e73f0477d46bbbedd5a218996d17e)
Ainsi on obtiendra
![{\displaystyle \mathrm {Q} =q+pq'+{\frac {1}{2}}d\left(p^{2}q'\right)+{\frac {1}{1.2.3}}d^{2}\left(p^{3}q'\right)+{\frac {1}{1.2.3.4}}d^{3}\left(p^{4}q'\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae5a54b11a15b84dd84b2ab6bb69ef83e276314)
en omettant partout les dénominateurs affectés de ![{\displaystyle dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd674929756f93103de4e15110626f09cae808c9)
Je ne sais si j'ai bien saisi le sens et la forme de cette démonstration, mais j'avoue qu’elle me parait un peu douteuse.
Deuxième démonstration. — Posons
![{\displaystyle \psi (x)=\psi (t)+\mathrm {P} \psi '(t)+d\left[\mathrm {Q} \psi '(t)\right]+d^{2}\left[\mathrm {R} \psi '(t)\right]+d^{3}\left[\mathrm {S} \psi '(t)\right]+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31e75646cb9f13263b172a29ea366d97734b131)
donc, pour le cas
![{\displaystyle \psi (x)=x,\qquad \psi (t)=t\qquad {\text{et}}\qquad \psi (t)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143dfe804fa1505cf80c4269025296a0b1d5dd88)
on aura
![{\displaystyle x=t+\mathrm {P} +d\mathrm {Q} +d^{2}\mathrm {R} +d^{3}\mathrm {S} +d^{4}\mathrm {P} +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10cdd3bc90c9ca201149f97cf50614ccc12451f1)
Or, puisque
![{\displaystyle x-t=\varphi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b892cb5103c9ab092559edd26dafd2d52f9110f)