Par conséquent, nous en obtiendrons
![{\displaystyle \psi (x)=\psi (t)+\varphi (t)\psi '(t)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dd12db7ad80825c89faff5d7de571563630ddf)
Dans le Mémoire que j’ai composé sur ce théorème, j’ai aussi considéré cette équation plus générale
où
est une fonction quelconque de
et
et j’ai trouvé qu’on aura encore
![{\displaystyle \psi (x)=\psi (t)+\operatorname {Q} \psi '(t)+{\frac {\left[\operatorname {Q} ^{2}\psi '(t)\right]}{1.2\,dt}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047f3cd20a1ab6eaab8b40b83bb535108d6639b8)
signifiant une fonction dans laquelle
sera changé, en substituant cc pour
et
pour
et introduisant de nouveau après la différentiation
au lieu de
Il n’y a que fort peu de temps que j’ai trouvé des formules, à ce qu’il me semble, assez belles, pour les différences finies des fonctions de deux ou plusieurs variables.
Soit
une fonction quelconque de deux variables
et
et supposons
augmenté de
et
de
ainsi qu’il suit
![{\displaystyle x'=x+p,\qquad {\text{et}}\qquad y'=y+p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e76af6f6108204911140de55fa6f6e780cfeea2)
soit de plus
telle fonction de
que
est de
et
et on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&z'=z&&+p{\frac {\partial z}{\partial x}}&&+{\frac {1}{2}}p^{2}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}&&+{\frac {1}{1.2.3}}p^{3}{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{3}}}+\ldots \\&&&+q{\frac {\partial z}{\partial y}}&&+{\frac {2}{2}}pq{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}&&+{\frac {3}{1.2.3}}p^{2}q{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{2}\partial y}}+\ldots \\&&&&&+{\frac {1}{2}}q^{2}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}&&+{\frac {3}{1.2.3}}pq^{2}{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x\partial y^{2}}}+\ldots \\&&&&&&&+{\frac {1}{1.2.3}}q^{3}{\frac {\partial ^{3}z}{\partial y^{3}}}+\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003d4db9a15b9f7c03dc4fc9ee00238062cd1380)
Si l’on supposait que
serait une fonction de trois variables comme
il ne serait plus difficile de trouver la valeur de
Dans le Tome XV de nos Commentaires, nouvellement imprimé[1],
- ↑ Année 1771. Ce Volume des Novi Commentarii contient, dans la partie Mathematica, quatre Mémoires d’Euler.