celle en
comme un peu plus simple, l’autre n’étant d’ailleurs, comme vous le remarquez, qu’une transformation de celle-ci par la substitution de
à la place de
Je remarque d’abord que cette équation
![{\displaystyle \left(1+9z^{2}\right)d^{2}y+12z\,dy\,dz-2y\,dz^{2}-(1+3z)^{-{\frac {5}{3}}}dz^{2}-(1-3z)^{-{\frac {5}{3}}}dz^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d805dc7980fb72e057b59cd4f8f7ae883dddbad)
étant du second ordre, son intégrale complète doit renfermer deux constantes arbitraires ; ainsi l’intégrale que vous trouvez
![{\displaystyle y=-{\frac {(1+3z)^{\frac {1}{3}}}{4}}-{\frac {(1-3z)^{\frac {1}{3}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e70133a184455b6f83c923aea837b6cfa2a42f4)
est doublement incômplète ; et comme, d’ailleurs, vous n’exigez qu’une seule condition, savoir, que
lorsque
il s’ensuit que, après avoir satisfait à cette condition par le moyen d’une des arbitraires, l’expression de
doit encore en contenir une qui pourra être tout ce qu’on voudra.
La valeur précédente de
ne peut pas servir à trouver l’intégrale complète, mais elle sert, du moins, à simplifier l’équation en
faisant évanouir les termes en
seul ; car, faisant
![{\displaystyle y=t-{\frac {(1+3z)^{\frac {1}{3}}}{4}}-{\frac {(1-3z)^{\frac {1}{3}}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96ab6c0dc54d99278ac18763384f9c3912dd52e)
et substituant, on aura
![{\displaystyle \left(1+9z^{2}\right)d^{2}t+12z\,dt\,dz-2t\,dz^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ddacacbf263c5aa087dac13172950bccbf326a)
J’observe présentement qu’on peut satisfaire à cette équation par cette valeur de
savoir
![{\displaystyle t=\left(1+3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb8545e22e0f4d646e89d0a7673ccda1787a985)
comme on peut s’en assurer par la substitution ; d’où, à cause de l’ambiguïté du signe de
et de ce que la variable
entre dans tous les termes de la proposée sous une forme linéaire, je conclus tout de suite l’intégrale complète de cette équation, laquelle sera
![{\displaystyle t=\mathrm {A} \left(1+3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}}+\mathrm {B} \left(1-3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be3f637c1f2e7230a762331302e3dcc2350b8f)