Mais les valeurs de
et
que je viens de rapporter fournissent ce résultat qui est assez remarquable, c’est que, si l’on mène \mathrm{MQ} parallèle à
et qui coupe les cinq droites aux points
et que, si l’on mène les droites
qui coupent la même droite
et
et
enfin que
fût l’intersection de
avec
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Le point }}\mathrm {R} {\text{ sera au milieu de }}\mathrm {MN} ,\\&{\text{Le point }}\mathrm {S} \ {\text{ sera au milieu de }}\mathrm {NO} ,\\&{\text{Le point }}\mathrm {T} \,{\text{ sera au milieu de }}\mathrm {PQ} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f248e61084f1de9d565d29616163c63ed69198)
car l’équation de la droite
est
![{\displaystyle y=x{\frac {\gamma +\delta }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03206a342f5275a617b9f8b799e7373fb74a403)
celle de
est
![{\displaystyle y=x{\frac {\delta +\varepsilon }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a5eac5b21db76825e3e87fa4c7803b84ebd13d)
celle de
est
[1],
et, en éliminant entre celle-ci et chacune des deux autres pour avoir les coordonnées de leurs points d’intersection, on trouve, pour ces coordonnées, les mêmes valeurs que celles des points
et
rapportées ci-dessus.
Il suit de là qu’on peut résoudre un autre problème du même genre :
Étant données deux parallèles inégales, les partager toutes deux en deux parties égales, en ne se servant que de la règle.
Soient
les deux parallèles inégales données ; par chacune
- ↑ Lagrange a écrit sur un espace blanc de la page :
![{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {\gamma +\delta }{2}},\qquad {\text{donc}}\qquad x={\frac {2a}{{\cfrac {2y}{x}}-\alpha -\rho }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c22a30c560d78b8a19b0348e5c4fce1e99c2cb)
![{\displaystyle 2y-(a+\rho )x=2a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298201615229d0ab46c73d501161daded3afdf9b)
donc, en faisant varier la position de
le lieu de
est une droite.