Votre manière de parvenir aux équations différentielles en
et en
est très belle ; voici comment on peut trouver directement celles des excentricités et des aphélies. Je prends la solution du problème des trois corps de Clairaut (Théorie de la Lune, p. 6) et j’observe que, puisque
![{\displaystyle {\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-\sin u\left(g-\int \Omega \cos u\,du\right)-\cos u\left(c+\int \Omega \sin u\,du\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b572a28602e5d9abe373b1525337d7a47dd6780f)
si l’on fait
![{\displaystyle g-\int \Omega \cos u\,du=e\sin \mathrm {I} ,\qquad c+\int \Omega \sin u\,du=e\cos \mathrm {I} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6789d5a9ec86d0ca1a8f857f152bb3347c3dc178)
on a
![{\displaystyle {\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-e\cos(u-1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b325eaed947cdd6405c8b4feaf78dd07873e392)
en sorte que
sera l’exentricité, et
le lieu de l’aphélie, et il est remarquable que les quantités
et
peuvent être regardées comme constantes pendant que les quantités
et
varient de
et de
car, comme
![{\displaystyle {\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-e\sin \mathrm {I} \sin u-e\cos \mathrm {I} \cos u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ef82797541980a8f80116f04abb54839b9ed51)
il suffit de démontrer que la différentielle de cette équation est nulle, en ne faisant varier que les deux quantités
c’est-à-dire que
![{\displaystyle \sin u\,d(e\sin \mathrm {I} )+\cos u\,d(e\cos \mathrm {I} )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abc1626e25186b65e7ac467c7f9e0fdaa05094a)
mais
![{\displaystyle d(e\sin \mathrm {I} )=-\Omega \cos u\,du,\qquad d(e\cos \mathrm {I} )=\Omega \sin u\,du\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15fe796f727e7c42f3300a8881dad98c23d7a064)
donc, etc. Je fais donc
![{\displaystyle x=e\sin \mathrm {I} ,\qquad y=e\cos \mathrm {I} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675981f223e891d360be643e6b00e5252e3025cf)
j’ai
![{\displaystyle {\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-x\sin u-y\cos u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ded95ecddcc8444a82086f47e523f4b10543e41)
et ensuite j’ai, en différentiant, les équations
![{\displaystyle dx=-\Omega \cos u\,du,\qquad dy=\Omega \sin u\,du\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646607d761968671b4998d186560bdd6bbd357f9)
si l’on substitue dans ces équations et dans les autres semblables les valeurs de
et de
en
et
et que l’on ne conserve que les termes où
seront linéaires et multipliés par des coefficients