Si cette, équation est identique, l’équation en aura pour intégrale une équation de la forme
et, si est fonction de et de l'intégrale sera
étant l'arbitraire. L’équation
est une équation aux différences partielles du second ordre entre et ses différences partielles ; son intégrale renferme toutes les valeurs de telles que l’équation est susceptible d’une intégrale de cette forme
et soit et on aura
(2)
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en différentiant, on aura
en éliminant de cette valeur de au moyen de l’équation (2), on aura l’intégrale complète de l’équation précédente aux différences partielles du second ordre,'puisque cette intégrale dépend des deux fonctions arbitraires et on aura ensuite toutes les solutions particulières, au moyen des équations
Vous voyez ainsi que toutes les équations différentielles dont l’intégrale est algébrique offrent des paradoxes analogues à celui qui fait l’objet du Mémoire de M. Clairaut[1], et que l’on peut toujours dé-
- ↑ Voir dans les Mémoires de l’Académie de 1740, p. 293, le Mémoire de Clairaut, sur l’intégrationt ou la construction des équations différentielles du premier ordre.