la question est de réduire, s’il est possible, ces expressions de
et de
à une autre forme, où il n’y ait point d’arc de cercle
Comme
et
sont des constantes arbitraires, je't ire les valeurs de ces constantes pour pouvoir ensuite les faire disparaître par la différentiation j’ai, en ne poussant l’approximation que jusqu’aux
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&s+\alpha lut-\alpha ^{2}\left[{\frac {ut}{12}}\left(18l^{2}+5s^{2}+5u^{2}\right)+l^{2}{\frac {st^{2}}{2}}\right],\\q=&u-\alpha lst+\alpha ^{2}\left[{\frac {st}{12}}\left(18l^{2}+5s^{2}+5u^{2}\right)-l^{2}{\frac {ut^{2}}{2}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93ed605aae0d06599577dbfe10de6fa364d1de8)
Je différentie, et je dégage ensuite les différences
en divisant par les quantités qui les multiplient, il me vient, en négligeant toujours les
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {ds}{dt}}+\alpha lu-\alpha ^{2}{\frac {u}{12}}\left(18l^{2}+5s^{2}+5u^{2}\right)=&0,\\{\frac {du}{dt}}-\alpha ls+\alpha ^{2}{\frac {s}{12}}\left(18l^{2}+5s^{2}+5u^{2}\right)=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99818775fb2d848d201c6eba00eed7e16eead3c)
équations semblables à celles que vous trouvez entre
et
(p. 283), et qui, étant intégrées comme ces dernières, donneront des valeurs de
en
sans arcs de cercle. Si maintenant on substitue les valeurs de
et
en
et
dans les autres termes de la formule (5), on a, en négligeant toujours les ![{\displaystyle \alpha ^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0f578b9d6334c0d4b87d61ec4b95f79f9c32cd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=l&-\left({\frac {1}{2}}-\alpha l\right)\left(2l^{2}+s^{2}+u^{2}\right)+s\sin t+u\cos t\\&+\alpha \left({\frac {su}{3}}-{\frac {2\alpha sul}{3}}\right)\sin 2t+\alpha \left[{\frac {u^{2}-s^{2}}{6}}+{\frac {\alpha l\left(s^{2}-u^{2}\right)}{3}}\right]\cos 2t\\&+{\frac {\alpha ^{2}s}{48}}\left(3u^{2}-s^{2}\right)\sin 3t+{\frac {\alpha ^{2}u}{48}}\left(u^{2}-3s^{2}\right)\cos 3t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1a710312c181a75054d5211dfba1a6b9158f94)
On voit que les arcs
disparaissent d’eux-mêmes, non seulement dans les équations différentielles
![{\displaystyle {\frac {ds}{dt}}+\ldots =0,\qquad {\frac {du}{dt}}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b198ea93c378408ad2f1a57ff92132875545f2)
mais encore dans l’expression de
sans cette condition, l’élimination