Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/101

Ainsi, toutes les fois que les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ pourront se ramener à cette forme, les équations

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {M} =0\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {N} =0$

auront pour intégrale

${\frac {\mathrm {A} dx^{2}+\mathrm {B} dxdy+\mathrm {C} dy^{2}}{2dt^{2}}}+\mathrm {D^{2}V=const} .$

À l’égard de la quantité $\mathrm {D}$ on trouvera, en substituant les valeurs de $\mathrm {A,B,C}$ et effaçant ce qui se détruit,

${\begin{aligned}\mathrm {D} =&4ag-\mathrm {K} ^{2}+(4ah+2b\mathrm {K} )x+(4bg+2h\mathrm {K} )y\\&+\left(4ac-b^{2}\right)+\left(4cg-h^{2}\right)y^{2}+(2bh+4c\mathrm {K} )xy.\end{aligned}}$

IV.

Pour appliquer la méthode de l’Article précédent aux équations (B), il est visible qu’il ne faut que faire

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&x\mathrm {X} +{\frac {1}{2}}(x+y-1)\mathrm {Y} +\int \mathrm {X} dx+\int \mathrm {Y} dy,\\\mathrm {N} =&y\mathrm {Y} +{\frac {1}{2}}(x+y-1)\mathrm {X} +\int \mathrm {X} dx+\int \mathrm {Y} dy,\end{aligned}}$

ce qui donnera

${\begin{aligned}d\mathrm {Z} =&\left[2\mathrm {A} x+{\frac {1}{2}}\mathrm {B} (x+y-1)\right]\mathrm {X} dx+\left[\mathrm {B} y+\mathrm {A} (x+y-1)\right]\mathrm {Y} dx\\+&\left[2\mathrm {C} y\ +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} (x+y-1)\right]\mathrm {Y} dy+\left[\mathrm {B} y+\mathrm {C} (x+y-1)\right]\mathrm {X} dy\\+&\left(\int \mathrm {X} dx+\int \mathrm {Y} dy\right)\left[(2\mathrm {A+B} )dx+(2\mathrm {C+B} )dy\right],\end{aligned}}$

quantité qui devra donc être intégrable par elle-même.

Supposons que la quantité $(2\mathrm {A+B} )dx+(2\mathrm {C+B} )dy$ soit elle-même