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et supposant que les quantités $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M}$ soient nulles à la fois, sans que $\mathrm {N}$ le soit, on trouvera que l’équation $u=b,$ c’est-à-dire $p-q=bf,$ satisfait au Problème, de sorte que la courbe pourra être aussi une hyperbole ayant ses foyers dans les mêmes centres des forces.

Ainsi, en réunissant les deux cas, on en conclura que le corps peut toujours décrire une section conique, pourvu qu’il reçoive une impulsion convenable.

XIII.

Si l’on fait de plus $\psi =a'+\psi ',$ $a'$ étant une constante et $\psi '$ une variable, et qu’on substitue cette valeur dans la quantité

$\mathrm {C+D\psi +E\psi ^{2}+F\psi ^{3}+G\psi ^{4}} ,$

elle se changera en celle-ci

$\mathrm {A'+B'\psi '+C'\psi '^{2}+D'\psi '^{3}+E'\psi '^{4}} ,$

où

${\begin{aligned}\mathrm {A} '&=\mathrm {C} +\mathrm {D} a'+\mathrm {E} a'^{2}+\mathrm {F} a'^{3}+\mathrm {G} a'^{4},\\\mathrm {B} '&=\mathrm {D} +2\mathrm {E} a'+3\mathrm {F} a'^{2}+4\mathrm {G} a'^{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et la transformée

${\frac {d\psi }{\psi {\sqrt {\mathrm {C+D\psi +E\psi ^{2}+F\psi ^{3}+G\psi ^{4}} }}}}$

du premier membre de l’équation (I) deviendra

${\frac {d\psi '}{(a'+\psi '){\sqrt {\mathrm {A'+B'\psi '+C'\psi '^{2}+D'\psi '^{3}+E'\psi '^{4}} }}}}\,;$

soient maintenant $\mathrm {A} '=0$ et $\mathrm {B} '=0,$ et la différentielle se changera en

${\frac {d\psi '}{\left(a'\psi '+\psi '^{2}\right){\sqrt {\mathrm {C'+D'\psi '+E'\psi '^{2}} }}}},$

qui ne dépend plus que de la quadrature du cercle ou de l’hyperbole.