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Soit pour plus de simplicité $\xi ^{2}=hu,$ on aura, en substituant cette valeur dans l’équation en $\xi ,$ celle-ci

$4\mathrm {P} u^{2}+\mathrm {X} \left({\frac {2ud^{2}u-du^{2}}{dx^{2}}}-4\right)=0,$

et la valeur de $y$ sera

$y={\sqrt {hu}}\sin \int {\frac {dx}{u}}.$

14. On remarquera d’abord, à l’égard de cette expression de $y,$ qu’elle contient deux constantes arbitraires : l’une, c’est la constante $h$ qui ne se trouve point dans l’équation en $u\,;$ l’autre, c’est celle qui est virtuellement renfermée dans l’intégrale $\int {\frac {dx}{u}}\,;$ c’est pourquoi il suffira d’y substituer une valeur quelconque de $u$ qui satisfasse à l’équation en $u,$ sans s’embarrasser si elle est une intégrale complète de cette équation ou non.

Un autre avantage de la même expression de $y,$ c’est qu’elle est très-commode pour la détermination du poids $\mathrm {P} \,;$ car, suivant les conditions du Problème, il faut : 1^o que $y=0$ lorsque $x=0,$ condition qu’on remplira en prenant l’intégrale de $\int {\frac {dx}{u}}$ en sorte qu’elle s’évanouisse lorsque $x=0\,;$ 2^o il faut aussi que $y=0$ lorsque $x=a\,;$ et, pour remplir cette condition, il faudra que la valeur de l’intégrale $\int {\frac {dx}{u}}$ qui répond à $x=a$ soit $m\pi \,;$ car alors $\sin \int {\frac {dx}{u}}$ sera nul. Or, comme la quantité $u$ ne doit point contenir de constantes arbitraires, il est visible que cette dernière condition donnera une équation entre les quantités $\mathrm {P}$ et $a,$ par laquelle on pourra déterminer $\mathrm {P} .$

Quant au nombre entier $m,$ qui demeure indéterminé, il est clair, par ce que l’on a vu plus haut, qu’il sera toujours égal au nombre des ventres que la colonne formera en se courbant par la pression du poids $\mathrm {P} \,;$ donc, pour avoir la limite des fardeaux que la colonne pourra supporter sans se courber d’une manière quelconque, il faudra toujours prendre pour $m$ le nombre entier qui rendra la valeur de $\mathrm {P}$ la plus petite, et cette valeur sera la limite cherchée.