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donc, substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, elle deviendra, après l’avoir multipliée par $\mathrm {T} ,$

${\frac {\mathrm {T} ^{2}\left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=(\beta +\gamma p)(\mathrm {T-N} q).$

Or, puisque la valeur de $\mathrm {T}$ est indéterminée, on peut la supposer telle que

$\mathrm {T-N} q=0\,;$

c’est-à-dire, à cause que $\mathrm {N} ={\frac {d\mathrm {T} }{dq}},$

${\frac {1}{\mathrm {T} }}{\frac {d\mathrm {T} }{dq}}={\frac {1}{q}},$

ce qui donne, en multipliant par $dq$ et intégrant,

$\mathrm {T=P} q,$

$\mathrm {P}$ étant une fonction quelconque de $p$ sans $q.$ Ainsi on aura, en supposant $d\mathrm {P} =\mathrm {P} 'dp,$

$\mathrm {M=P'} q,\qquad \mathrm {N=P} ,$

et l’équation différentielle deviendra

${\frac {\mathrm {T} ^{2}\left(\mathrm {P} 'qdp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=0,$

c’est-à-dire, en mettant $\mathrm {P} q$ au lieu de $\mathrm {T} ,$ $d\mathrm {P}$ au lieu de $\mathrm {P} 'dp,$ et divisant ensuite par $q\mathrm {T} ^{2},$

${\frac {d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} d^{2}p}{dt^{2}}}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {d(\mathrm {P} dp)}{dt^{2}}}=0\,;$

de sorte qu’on aura, en prenant une constante arbitraire quelconque $\mathrm {G} ,$

${\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}=\mathrm {G} \,;$

d’où, en mettant au lieu de

${\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}$