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immédiatement la courbe qui, par sa rotation autour de son axe, produira une colonne qui ait la plus grande force possible ; Problème d’un genre assez neuf, et dont la solution demande des artifices particuliers qui pourront m’être utiles dans d’autres occasions.

28. Voici en quoi consiste ce Problème exprimé analytiquement :

Il s’agit de trouver une équation entre les ordonnées $z$ et les abscisses $x,$ telle que la quantité $\mathrm {\frac {P}{S^{2}}}$ soit la plus grande qu’il est possible, $\mathrm {S}$ étant égale a l’intégrale $\pi \int z^{2}dx$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=a,$ et $\mathrm {P}$ étant une constante qui doit être déterminée par cette condition que l’intégrale $\int {\frac {dx}{u}},$ prise en sorte qu’elle soit nulle lorsque $x=0$, devienne égale à $\pi$ lorsque $x=a,$ en supposant $u$ donnée par l’équation différentielle

$4\mathrm {P} u^{2}+\mathrm {X} \left({\frac {2ud^{2}u-du^{2}}{dx^{2}}}-4\right)=0,$

où $\mathrm {X}$ est une fonction donnée de $z$ que nous avons supposée plus haut égale à $\mathrm {K} z^{4}.$

On voit que ce qui rend surtout le Problème dillicile, c’est que la quantité $u$ n’est pas donnée en $\mathrm {P}$ et en $z$ en termes finis ; mais supposons pour un moment que ce soit une fonction connue de $z$ et de $\mathrm {P} ,$ en sorte que

$du=\mathrm {M} dz+\mathrm {N} d\mathrm {P} ,$

en faisant aussi $\mathrm {P}$ variable ; dans ce cas, voici comment on pourra s’y prendre.

Puisque $\mathrm {\frac {P}{S^{2}}}$ doit être un maximum, on aura d’abord, en différentiant et employant la caractéristique $\delta ,$

$\mathrm {{\frac {\delta P}{P}}-{\frac {2\delta S}{S}}} =0\,;$

or, puisque $\int {\frac {dx}{u}}$ est égal à une quantité donnée $\pi ,$ laquelle est indé-