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mais puisque $\mathrm {X}$ est supposée une fonction de $z,$ on aura $d\mathrm {X} =\mathrm {X} 'dz,$ et par conséquent aussi $\delta \mathrm {X} =\mathrm {X} '\delta z\,;$ de plus, on a par la méthode des variations, exposée dans les tomes II et IV des Miscellanea Taurinensia^[1], $\delta d^{2}t=d^{2}\delta t\,;$ donc, substituant ces valeurs et mettant de plus $-{\frac {\mathrm {P} t}{\mathrm {X} }}$ à la place de ${\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}-{\frac {1}{t^{3}}},$ on aura cette équation

$\mathrm {P} \delta t+t\delta \mathrm {P} -{\frac {\mathrm {P} t\mathrm {X} '\delta z}{\mathrm {X} }}+\mathrm {X} \left({\frac {d^{2}\delta t}{dx^{2}}}-{\frac {3\delta t}{t^{4}}}\right)=0$^[2].

c’est-à-dire

$\left(\mathrm {P} -{\frac {3\mathrm {X} }{t^{4}}}\right)\delta t+\mathrm {X} {\frac {d^{2}\delta t}{dx^{2}}}+t\delta \mathrm {P} -{\frac {\mathrm {P} \mathrm {X} 't\delta z}{\mathrm {X} }}=0.$,

Je multiplie maintenant, cette équation par $\alpha dx,$ $\alpha$ étant une nouvelle indéterminée, et je l’intègre en faisant disparaître, par des intégrations partielles, les différences de $\delta t\,;$ j’aurai

$\int \left[\left(\mathrm {P} -{\frac {3\mathrm {X} }{t^{4}}}\right)\alpha +{\frac {d^{2}(\mathrm {X} \alpha )}{dx^{2}}}\right]\delta tdx+{\frac {d\mathrm {X} \alpha d\delta t}{dx}}-{\frac {d(\mathrm {X} \alpha )\delta t}{dx}}$

$+\delta \mathrm {P} \int t\alpha dx-\mathrm {P} \int {\frac {t\alpha \mathrm {X} '\delta z}{\mathrm {X} }}dx=\mathrm {const} .$

Je suppose, ce qui est permis, que la quantité $\alpha$ soit telle que l’on ait

$\left(\mathrm {P} -{\frac {3\mathrm {X} }{t^{4}}}\right)\alpha +{\frac {d^{2}(\mathrm {X} \alpha )}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {H} }{t^{3}}},$

$\mathrm {H}$ étant une constante quelconque ; l’équation précédente deviendra

$\mathrm {H} \int {\frac {\delta tdx}{t^{3}}}+{\frac {\mathrm {X} \alpha d\delta t}{dx}}-{\frac {d(\mathrm {X} \alpha )\delta t}{dx}}+\delta \mathrm {P} \int t\alpha dx-\mathrm {P} \int {\frac {t\alpha \mathrm {X} '\delta z}{\mathrm {X} }}dx=\mathrm {const} .,$

1. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 335 et t. II, p.37.
2. Le terme ${\frac {3\delta t}{t^{4}}}$ devrait avoir ici le signe $+$ comme dans la formule précédente. Le changement de ce signe a pour effet d’infirmer tous les résultats qui suivent ; ces résultats sont d’ailleurs affectés de plusieurs autres erreurs de calcul. Nous avons reproduit exactement le texte primitif en nous bornant à corriger, comme nous l’avons toujours fait, les fautes typographiques ; on trouvera, à la fin du Mémoire, l’indication des modifications qu’il y a lieu de faire subir aux principales formules.
   (Note de l’Éditeur.)