en sorte que l’on ait aussi
![{\displaystyle {\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a393b0d1def42cc032515f6cdb2113c033c807)
et ces deux équations, étant traitées comme celles du no 10, deviendront d’abord
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dx+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}x}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma x+3\delta x^{2}+4\varepsilon x^{3},\\{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dy+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}y}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma y+3\delta y^{2}+4\varepsilon y^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3977d3dc49ffe40f01bcc75622626f47c5b2af)
J’ajoute ensemble ces deux dernières équations, et je fais comme ci-dessus
![{\displaystyle x+y=p,\quad x-y=q,\quad d\mathrm {T} =\mathrm {M} dp+\mathrm {N} dq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694bf0fe46f7f619661bdb3483919cb640f62f93)
j’aurai, en divisant par
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {TM} dp^{2}+\mathrm {TN} dpdq+\mathrm {T} ^{2}d^{2}p}{dt^{2}}}=\beta +\gamma p+{\frac {3\delta }{4}}\left(p^{2}+q^{2}\right)+{\frac {\varepsilon }{2}}\left(p^{3}+3pq^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba45bb029ec2b44c5ee75cd6588d445033e9bfd7)
et mettant au lieu de
sa valeur
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx^{2}-dy^{2}}{dt^{2}}}=&{\frac {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}{\mathrm {T} ^{2}}}-{\frac {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}{\mathrm {T} ^{2}}}\\=&{\frac {\beta q+\gamma pq+{\cfrac {\delta }{4}}\left(3p^{2}q+q^{3}\right)+{\cfrac {\varepsilon }{2}}\left(p^{3}q+pq^{3}\right)}{\mathrm {T} ^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eca93de1f2cb12b958f031b38e333eff98c3992)
on aura, après avoir multiplié par
et ordonné les termes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {T} ^{2}\left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=&(\beta +\gamma p)(\mathrm {T-N} q)+{\frac {\delta }{4}}\left[3\mathrm {T} \left(p^{2}+q^{2}\right)-\mathrm {N} \left(3p^{2}q+q^{2}\right)\right]\\&+{\frac {\varepsilon }{4}}\left[\mathrm {T} \left(p^{3}+3pq^{2}\right)-\mathrm {N} \left(p^{3}q+pq^{3}\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4906c4f2ac65e3173b9cbde4cd79044bbca8871)
Soit fait, comme dans le no 10,
![{\displaystyle \mathrm {T-N} q=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247d1f364feaf23ef2ce4657b38a919d3ff53ef6)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {T=P} q,\quad \mathrm {N=P} ,\quad \mathrm {M} ={\frac {qd\mathrm {P} }{dp}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2249ec32b0f2ea3f8161a5c217f83dc4db98b26b)