Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/188

${\begin{aligned}\mathrm {B} =&na^{n-1}b+{\frac {3}{1}}{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}a^{n-3}b^{3}\\&+{\frac {5.4}{1.2}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2.3.4.5}}a^{n-5}b^{5}\\&+{\frac {7.6.5}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-6)}{2.3\ldots 7}}a^{n-7}b^{7}+\ldots ,\\\\\mathrm {C} =&{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}+{\frac {4}{1}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3.4}}a^{n-4}b^{4}\\&+{\frac {6.5}{1.2}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-5)}{2.3\ldots 6}}a^{n-6}b^{6}\\&+{\frac {8.7.6}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-7)}{1.2\ldots 8}}a^{n-8}b^{8}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si on appelle $\mathrm {M}$ le terme de la série $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ dont le quantième sera $\mu +1,$ il est facile de voir qu’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu +1)}{1.2\ldots \mu }}a^{n-\mu }b^{\mu }\\&+{\frac {\mu +2}{1}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu -1)}{1.2\ldots (\mu +2)}}a^{n-\mu +2}b^{\mu +2}\\&+{\frac {(\mu +4)(\mu +3)}{1.2}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu -3)}{1.2\ldots (\mu +4)}}a^{n-\mu +4}b^{\mu +4},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or, ce terme $\mathrm {M}$ est le coefficient des puissances $x^{\mu }$ et $x^{-\mu },$ de sorte qu’on aura ${\frac {2\mathrm {M} }{(a+2b)^{n}}}$ pour la probabilité que l’erreur soit $\pm {\frac {\mu }{n}}.$ Ainsi, la probabilité que l’erreur ne surpassera pas $\pm {\frac {\mu }{n}}$ sera représentée par la série

${\frac {\mathrm {A+2B+2C+2D+\ldots +2M} }{(a+2b)^{n}}}.$

Pour faciliter la recherche des valeurs de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ il est bon de faire voir comment ces quantités dépendent les unes des autres ; pour cela, on reprendra l’équation

$\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}=\mathrm {A} +\mathrm {B} \left(x+x^{-1}\right)+\mathrm {C} \left(x^{2}+x^{-2}\right)+\mathrm {D} \left(x^{3}+x^{-3}\right)+\ldots ,$