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Lemme II.

31. On demande le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ dans la série qui résultera du développement de la fraction

${\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{m}(b-x)^{n}}},$

$\mathrm {X}$ étant, comme dans le Lemme I, une fonction, rationnelle et sans diviseur, de $x.$

On sait que la fraction ${\frac {1}{(a-x)^{m}(b-x)n}}$ peut se décomposer en différentes fractions telles que celles-ci

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {A} }{(a-x)^{m}}}+{\frac {\mathrm {A} '}{(a-x)^{m-1}}}+{\frac {\mathrm {A} ''}{(a-x)^{m-2}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} ^{(m-1)}}{a-x}}\\+&{\frac {\mathrm {B} }{(b-x)^{n}}}\ \,+{\frac {\mathrm {B} '}{(b-x)^{n-1}}}\ +{\frac {\mathrm {B} ''}{(b-x)^{n-2}}}\ +\ldots +{\frac {\mathrm {B} ^{(n-1)}}{b-x}},\end{aligned}}$

les coefficients $\mathrm {A,A',A''} ,\ldots$ étant égaux à ce que deviennent les quantités

$+{\frac {1}{(b-x)^{n}}},\quad -{\frac {d{\cfrac {1}{(b-x)^{n}}}}{dx}},\quad +{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{(b-x)^{n}}}}{2dx^{2}}},\ldots ,$

lorsque $x=a,$ et les coefficients $\mathrm {B,B',B''} ,\ldots$ étant égaux à ce que deviennent les quantités

$+{\frac {1}{(a-x)^{m}}},\quad -{\frac {d{\cfrac {1}{(a-x)^{m}}}}{dx}},\quad +{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{(a-x)^{m}}}}{2dx^{2}}},\ldots ,$

lorsque $x=b.$ Donc la fraction proposée se changera dans ces deux suites de fractions

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {AX} }{(a-x)^{m}}}+{\frac {\mathrm {A'X} }{(a-x)^{m-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} ^{(m-1)\mathrm {X} }}{a-x}}\\+&{\frac {\mathrm {BX} }{(b-x)^{n}}}\ \,+{\frac {\mathrm {B'X} }{(b-x)^{n-1}}}\ +\ldots +{\frac {\mathrm {B} ^{(n-1)}\mathrm {X} }{b-x}}.\end{aligned}}$

Mais, par le Lemme I, le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ dans la