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Donc, en réunissant ces deux quantités, on aura pour le coefficient de $x^{\mu }$ dans la série résultante de la fraction ${\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{m}(b-x)^{n}}}$ l’expression

${\begin{aligned}{\frac {(-1)^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(b-x)^{n}}}}{dx^{m-1}}}&\qquad (x=a)\\+{\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}}}}{dx^{n-1}}}&\qquad (x=b)\end{aligned}}$

en ayant soin de rejeter dans la valeur de ${\frac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}$ toutes les puissances positives de $x.$

32. Corollaire. — Il est facile de conclure de là que si l’on développait en série la fraction

${\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{m}(b-x)^{n}(c-x)^{p}\ldots }},$

on aurait pour le coefficient de $x^{\mu }$ l’expression suivante

${\begin{aligned}{\frac {(-1)^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}\left[{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(b-x)^{n}(c-x)^{p}\ldots }}\right]}{dx^{m-1}}}&\qquad (x=a)\\+{\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}\left[{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}(c-x)^{p}\ldots }}\right]}{dx^{n-1}}}&\qquad (x=b)\\+{\frac {(-1)^{p-1}}{1.2.3\ldots (p-1)}}{\frac {d^{p-1}\left[{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}(b-x)^{n}\ldots }}\right]}{dx^{p-1}}}&\qquad (x=c)\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en ne prenant dans la valeur de ${\frac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}$ que les puissances négatives de $x,$ et rejetant toutes les positives.

33. Remarque. — Par le moyen du Lemme précédent, on pourra donc déterminer aisément la probabilité que l’erreur moyenne, résultant