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en faisant disparaître le radical du dénominateur, s’il est nécessaire, on réduira la différentielle proposée

${\frac {\mathrm {N} dx}{\sqrt {\left(a+bx^{2}\right)\left(m+nx^{2}\right)}}}$

à la forme

$\mathrm {L} dy+{\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}}}},$

où $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M}$ seront des fonctions toutes rationnelles de $y^{2}.$

Or le trinôme sous le signe

$1+2(2bm-an)y^{2}+a^{2}n^{2}y^{4}$

se résout dans les deux binômes

${\begin{aligned}&1+\left(2bm-an+2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}}\right)y^{2},\\&1+\left(2bm-an-2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}}\right)y^{2},\end{aligned}}$

qui sont toujours réels à cause de ${\frac {b^{2}}{a^{2}}}=$ ou $>{\frac {n^{2}}{m^{2}}}\,;$ car puisque

$b^{2}m^{2}-a^{2}n^{2}=\quad {\text{ou}}\quad >0,$

les facteurs $bm+an$ et $bm-an$ seront nécessairement de même signe ; donc aussi leur somme $2bm$ sera du même signe ; ainsi, $bm$ et $bm-an$ étant de même signe, leur produit $b^{2}m^{2}-abmn$ sera toujours une quantité positive. On voit aussi que les deux quantités

${\begin{aligned}&2bm-an+2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}},\\&2bm-an-2{\sqrt {b^{2}m^{2}-abmn}},\end{aligned}}$

sont de même signe, puisque leur produit $a^{2}n^{2}$ est nécessairement positif ; et comme la demi-somme des mêmes quantités est

$2bm-an=bm+bm-an,$

et que nous venons de voir que $bm$ et $bm-an$ sont de même signe, il s’ensuit que les deux quantités dont il s’agit seront toujours de même signe que $bm.$