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On fera

${\begin{alignedat}{2}p&={\text{ʽ}}p\ +{\sqrt {{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}q^{2}}},&q&={\text{ʽ}}p\ -{\sqrt {{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}q^{2}}},\\{\text{ʽ}}p&={\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p+{\sqrt {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\qquad &{\text{ʽ}}q&={\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p-{\sqrt {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}-{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

ce qui donne

${\begin{alignedat}{2}{\text{ʽ}}p=&{\frac {p+q}{2}},&{\text{ʽ}}q=&{\sqrt {pq}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p=&{\frac {{\text{ʽ}}p+{\text{ʽ}}q}{2}},&{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q=&{\sqrt {{\text{ʽ}}p{\text{ʽ}}q}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

De sorte qu’il est très-facile de continuer les séries $p,{\text{ʽ}}p,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,\ldots ,$$q,{\text{ʽ}}q,$${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q,\ldots$ aussi loin que l’on veut, puisque les termes correspondants sont toujours moyens arithmétiques et géométriques entre les deux précédents. Et l’on voit en même temps que, quelle que soit la différence des deux premiers termes $p,q,$ elle doit aller toujours en diminuant dans les termes suivants, jusqu’à devenir nulle ; car $p$ étant $>q,$ on a évidemment ${\text{ʽ}}p<p,$ ${\text{ʽ}}q>{\text{ʽ}}q,$ et en même temps ${\text{ʽ}}q<{\text{ʽ}}p,$ puisque

${\text{ʽ}}p-{\text{ʽ}}q={\frac {p+q}{2}}-{\sqrt {pq}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {p}}-{\sqrt {q}}\right)^{2}\,;$

donc aussi ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p<{\text{ʽ}}p,$ ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q>{\text{ʽ}}q$ et $<{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,$ et ainsi de suite ; en sorte que la série $p,{\text{ʽ}}p,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p,\ldots$ est décroissante, et la série $q,{\text{ʽ}}q,{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q,\ldots$ est au contraire croissante, mais toujours séparée de l’autre par un intervalle qui diminue à l’infini.

12. Cela posé, on fera successivement

${\begin{aligned}y&={\frac {{\text{ʽ}}y{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1\pm {\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}y^{2}}},\\{\text{ʽ}}y&={\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}}},\\{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y&={\frac {{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\mathrm {R} }{1\pm {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$