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ou bien,

$\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {U} }{2u^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Y} ={\frac {\mathrm {V} }{2v^{2}}},$

en supposant pour plus de simplicité

${\begin{aligned}\mathrm {U} =&c\mathrm {\left(B-{\sqrt {B^{2}-1}}\right)} +b\mathrm {\left(A-{\sqrt {A^{2}-1}}\right)} u\\&+2au^{2}+b\mathrm {\left(A+{\sqrt {A^{2}-1}}\right)} u^{3}+c\mathrm {\left(B+{\sqrt {B^{2}-1}}\right)} u^{4},\\V=&c\mathrm {\left(F-{\sqrt {F^{2}-1}}\right)} +b\mathrm {\left(E-{\sqrt {E^{2}-1}}\right)} v\\&+2av^{2}+b\mathrm {\left(E+{\sqrt {E^{2}-1}}\right)} v^{3}+c\mathrm {\left(F+{\sqrt {F^{2}-1}}\right)} v^{4}\,;\end{aligned}}$

de sorte que l’équation

${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}$

deviendra

${\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}={\frac {dv}{\sqrt {\mathrm {V} }}},$

dont l’intégrale sera

${\begin{aligned}{\frac {\sqrt {\mathrm {U} }}{u}}+{\frac {\sqrt {\mathrm {V} }}{v}}=&{\frac {(v+u){\sqrt {1-\mathrm {M} }}+(v-u){\sqrt {-1-\mathrm {M} }}}{2{\sqrt {vu}}}}\\&\times {\sqrt {\mathrm {H} ^{2}-c{\frac {\left(1+u^{2}v^{2}\right){\sqrt {1+\mathrm {N} }}-\left(1-u^{2}v^{2}\right){\sqrt {\mathrm {N} -1}}}{uv{\sqrt {2}}}}}}.\end{aligned}}$

Il est clair que l’équation ${\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}={\frac {dv}{\sqrt {\mathrm {V} }}},$ est un peu plus générale que l’équation (E) que nous avons appris à intégrer dans le n^o 12 ; car dans cette dernière équation il n’y a que cinq coefficients indéterminés, au lieu que dans celle dont il s’agit il y en a six ; je dis six, quoique les quantités $a,b,c,\mathrm {A,B,E,F}$ soient au nombre de sept ; car nous avons vu ci-dessus qu’il doit y avoir entre les quatre dernières de ces quantités un rapport exprimé par l’équation (G).

19. Pour généraliser, s’il est possible, la méthode que je viens d’expliquer, je reprends les équations

${\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}},\qquad {\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},$