ou bien,
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {\mathrm {U} }{2u^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Y} ={\frac {\mathrm {V} }{2v^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859eb190fa0621c0f9409d0298a226d09f9e0de2)
en supposant pour plus de simplicité
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} =&c\mathrm {\left(B-{\sqrt {B^{2}-1}}\right)} +b\mathrm {\left(A-{\sqrt {A^{2}-1}}\right)} u\\&+2au^{2}+b\mathrm {\left(A+{\sqrt {A^{2}-1}}\right)} u^{3}+c\mathrm {\left(B+{\sqrt {B^{2}-1}}\right)} u^{4},\\V=&c\mathrm {\left(F-{\sqrt {F^{2}-1}}\right)} +b\mathrm {\left(E-{\sqrt {E^{2}-1}}\right)} v\\&+2av^{2}+b\mathrm {\left(E+{\sqrt {E^{2}-1}}\right)} v^{3}+c\mathrm {\left(F+{\sqrt {F^{2}-1}}\right)} v^{4}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81cd932ae8b2ce9581eaa586cf13bdb6ba0c4e6c)
de sorte que l’équation
![{\displaystyle {\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a47c451b1d8637b0142ada2c6cbb28c601475d7)
deviendra
![{\displaystyle {\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}={\frac {dv}{\sqrt {\mathrm {V} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0302a6da5748310fa37b7e06d4250df2aa5fa7)
dont l’intégrale sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sqrt {\mathrm {U} }}{u}}+{\frac {\sqrt {\mathrm {V} }}{v}}=&{\frac {(v+u){\sqrt {1-\mathrm {M} }}+(v-u){\sqrt {-1-\mathrm {M} }}}{2{\sqrt {vu}}}}\\&\times {\sqrt {\mathrm {H} ^{2}-c{\frac {\left(1+u^{2}v^{2}\right){\sqrt {1+\mathrm {N} }}-\left(1-u^{2}v^{2}\right){\sqrt {\mathrm {N} -1}}}{uv{\sqrt {2}}}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4166656a5302e1f66eeccaea4630457cbf0c6a2c)
Il est clair que l’équation
est un peu plus générale que l’équation (E) que nous avons appris à intégrer dans le no 12 ; car dans cette dernière équation il n’y a que cinq coefficients indéterminés, au lieu que dans celle dont il s’agit il y en a six ; je dis six, quoique les quantités
soient au nombre de sept ; car nous avons vu ci-dessus qu’il doit y avoir entre les quatre dernières de ces quantités un rapport exprimé par l’équation (G).
19. Pour généraliser, s’il est possible, la méthode que je viens d’expliquer, je reprends les équations
![{\displaystyle {\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}},\qquad {\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c576dc0a969d23d8840b9ec956784af5dce173a1)