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fût en même temps peu différente de $-m,$ on partagerait alors l’intégrale en deux parties, dont l’une se prendrait depuis $m$ jusqu’à zéro et l’autre depuis zéro jusqu’à $-m,$ et pour la première on emploierait la première série, et pour la seconde la seconde série.

16. Nous finirons par présenter encore un moyen de simplification relativement à la manière de compléter l’intégrale cherchée. Nous remonterons pour cela à la différentielle en y du n^o 6, et nous remarquerons que si l’intégration de cette différentielle doit commencer au point où $y=0,$ alors, comme $y=0$ donne aussi $y'=0,\ y''=0,\ldots ,$ ainsi que ${\text{ʽ}}y=0,\ {\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}y=0,\ldots ,$ toutes les autres différentielles transformées devront aussi commencer au point où leur variable sera nulle ; de sorte qu’il n’y aura dans ce cas aucune constante à ajouter. Mais si l’intégration doit commencer dans un autre point quelconque, il faudra alors, pour compléter l’intégrale, en retrancher la valeur correspondant à ce point, ce qui rendra l’intégrale moins simple et même quelquefois sujette à des difficultés, si la valeur de $y$ devait être infinie au commencement de l’intégration.

On obviera en général à ces inconvénients en ramenant tous les cas au premier, c’est-à-dire à celui où l’intégrale commence à $y=0.$ Pour cet effet, soit $f$ la valeur de $y$ au point où l’on veut faire commencer l’intégration de la différentielle

${\frac {\mathrm {M} dy}{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}\,;$

on substituera au lieu de $y$ une autre variable $u$ déterminée par l’équation

$f^{2}-u^{2}-y^{2}+2uy{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}+p^{2}q^{2}f^{2}u^{2}y^{2}=0,$

laquelle donne

$u={\frac {y{\sqrt {\left(1\pm p^{2}f^{2}\right)\left(1\pm q^{2}f^{2}\right)}}-f{\sqrt {\left(1\pm p^{2}y^{2}\right)\left(1\pm q^{2}y^{2}\right)}}}{1-p^{2}q^{2}f^{2}y^{2}}},$