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rentielle en série

${\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}{\sqrt {e}}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {n}{1+x}}-{\frac {1.1}{2.4}}{\frac {n^{2}}{(1+x)^{2}}}+{\frac {1.1.3}{2.4.6}}{\frac {n^{3}}{(1+x)^{3}}}-\ldots \right)dx,$

dont chaque terme est intégrable en partie algébriquement et en partie par logarithmes.

Suivant la méthode du n^o 10, il n’y aura donc qu’à intégrer la différentielle

${\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}{\frac {\sqrt {e}}{1-{\cfrac {a}{1+x}}dx}},$

qu’on nommera $d\mathrm {V}$ et à résoudre ensuite la quantité $\mathrm {V} ,$ regardée comme une fonction de $a,$ en une série ascendante de la forme

$u+au'+a^{2}u''+a^{3}u'''+\ldots \,;$

alors on aura sur-le-champ la série

$u+{\frac {1}{2}}nu'-{\frac {1.1}{2.4}}n^{2}u''+{\frac {1.1.3}{2.4.6}}n^{3}u'''-\ldots$

pour l’intégrale de la différentielle proposée, c’est-à-dire pour la longueur de l’arc elliptique ou hyperbolique.

Or, comme

${\frac {1}{1-{\cfrac {a}{1+x}}}}={\frac {1+x}{1-a+x}}=1+{\frac {a}{1-a+x}},$

on aura

$d\mathrm {V} ={\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}{\sqrt {e}}dx+a{\sqrt {e}}{\sqrt {\frac {1-ex}{1-x}}}d\left[\log(1-a+x)\right]\,;$

et faisant ${\frac {1-x}{1-ex}}=y^{2},$ ce qui donne

$x={\frac {1-y^{2}}{1-ey^{2}}},\quad dx=-{\frac {2(1-e)y}{\left(1-ey^{2}\right)^{2}}}dy,$