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en supposant

${\begin{aligned}\mathrm {R} \ &={\sqrt {\left(1-p^{2}x^{2}\right)\left(1-q^{2}x^{2}\right)}},\\\mathrm {R} '&={\sqrt {\left(1-p'^{2}x'^{2}\right)\left(1-q'^{2}x'^{2}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et l’on aura par là

${\begin{aligned}x^{2}\ &={\frac {1+q^{2}x'^{2}-\mathrm {R} '}{2p^{2}}},\\x'^{2}&={\frac {1+q'^{2}x''^{2}-\mathrm {R} ''}{2p'^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\frac {dx}{\mathrm {R} }}={\frac {dx'}{\mathrm {R} '}}={\frac {dx''}{\mathrm {R} ''}}=\ldots ,$

où $x',x'',\ldots ,\mathrm {R',R''} ,\ldots$ seront nécessairement réels, puisque $x$ et $\mathrm {R}$ le sont.

Par ces substitutions la différentielle ${\frac {\left(\mathrm {A+B} x^{2}\right)dx}{\mathrm {R} }}$ deviendra successivement

${\begin{aligned}{\frac {\left(\mathrm {A'\ \ +B'\,\ } x'^{2}\ \ \right)dx'\ \ }{\mathrm {R} '}}&-{\frac {\mathrm {B} dx'}{2p^{2}}},\\{\frac {\left(\mathrm {A''\ +B''\ } x''^{2}\ \right)dx''\ }{\mathrm {R} ''}}&-{\frac {\mathrm {B} dx'}{2p^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} 'dx''}{2p'^{2}}},\\{\frac {\left(\mathrm {A'''+B'''} x'''^{2}\right)dx'''}{\mathrm {R} '''}}&-{\frac {\mathrm {B} dx'}{2p^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} 'dx''}{2p'^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} ''dx'''}{2p''^{2}}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite, en faisant, pour abréger,

$\mathrm {A'=A} +{\frac {\mathrm {B} }{2p^{2}}},\quad \mathrm {A''=A'} +{\frac {\mathrm {B} '}{2p'^{2}}},\quad \mathrm {A'''=A''} +{\frac {\mathrm {B} ''}{2p''^{2}}},\ldots ,$

$\mathrm {B} '={\frac {\mathrm {B} q^{2}}{2p^{2}}},\quad \mathrm {B} ''={\frac {\mathrm {B} 'q'^{2}}{2p'^{2}}},\quad \mathrm {B} '''={\frac {\mathrm {B} ''q''^{2}}{2p''^{2}}},\ldots .$

Donc, en général, si $\xi$ est un terme quelconque de la série $x,x',x'',\ldots ,$ $r$ et $s$ les deux termes correspondants dans les séries $p,p',p'',\ldots$ et $q,q',$$q'',\ldots$ et ${\text{ʽ}}r,{\text{ʽ}}s$ les deux termes qui les précèdent dans les mêmes séries,