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en sorte que les termes retsseront renfermés entre $1$ et $e$ et approcheront d’autant plus de l’égalité que le nombre des termes qui les précèdent sera plus grand.

Et il est facile de se convaincre par le calcul que, quelque petite que soit la valeur de $e,$ peu de termes suffiront pour rendre les valeurs de $r$ et $s$ presque égales.

Or, dans l’ellipse, on a $x^{2}=$ ou $<1\,;$ donc ${\text{ʽ}}q^{2}x^{2}$ sera $<1\,;$ en sorte que $1-{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}$ sera $>0\,;$ mais $\left(1-{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}\right)^{2}=\mathrm {R} ^{2}+(p-q)^{2}x^{2},$ comme on peut s’en convaincre par le calcul, à cause de ${\text{ʽ}}q^{2}=pq\,;$ donc $1-{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}>\mathrm {R} ,$ et ${\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+\mathrm {R} <1\,;$ ainsi, comme $x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1-\mathrm {R} }{2{\text{ʽ}}p^{2}}},$ on aura

{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}={\frac {{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1-\mathrm {R} }{2}}<{\frac {{\text{ʽ}}q^{2}x^{2}+1+\mathrm {R} }{2}}<1.

D’où l’on voit que ${\text{ʽ}}q^{2}x^{2}$ étant $<1,$ on aura nécessairement ${\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}x^{2}<1,$ et cela, soit qu’on prenne dans la valeur de ${\text{ʽ}}x^{2}$ le radical $\mathrm {R}$ positif ou négatif.

Or, ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}$ étant $<{\text{ʽ}}p^{2},$ on aura donc aussi ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}q^{2}{\text{ʽ}}x^{2}<1,$ et de là on trouvera, par un raisonnement semblable, ${\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}p^{2}{\text{ʽ}}\!{\text{ʽ}}x^{2}<1,$ et ainsi de suite. Donc $r^{2}\xi ^{2}<1,$ et à plus forte raison $s^{2}\xi ^{2}<1.$