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et l’on aura la transformée

${\frac {\zeta udu-u^{2}d\xi }{\xi r}}+{\frac {dx}{\xi }},$

laquelle, en faisant ${\frac {u}{\xi }}=y,$ se changera en celle-ci

${\frac {u^{2}dy}{ry}}+{\frac {dx}{\xi }}.$

Or, comme $\xi$ est une fonction de $x,$ il est visible que cette quantité ne saurait être une différentielle complète, à moins que ${\frac {u^{2}}{r}}$ ne soit une fonction de $y$ seule.

Donc, si l’on dénote par $\varphi (y)$ une fonction quelconque de $y$, il faudra que l’on ait $r=u^{2}\varphi (y),$ c’est-à-dire, à cause de $y={\frac {u}{\xi }},\ r=u^{2}\varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right).$ Donc, en substituant cette valeur de $r$ dans l’équation $p={\frac {r}{\xi }}-{\frac {u^{2}d\xi }{\xi dx}},$ on aura

$p=u^{2}\left[{\frac {\varphi \left({\cfrac {u}{\xi }}\right)}{\xi }}-{\frac {d\xi }{\xi dx}}\right].$

Telle est l’expression générale de la force accélératrice nécessaire pour le tautochronisme, où $\xi$ peut être une fonction quelconque de $x,$ et $\varphi \left({\frac {u}{\xi }}\right)$ une fonction quelconque de ${\frac {u}{\xi }}.$

Remarque. — La solution précédente est fondée sur cette considération qu’en faisant $\mathrm {X} =z\mathrm {A}$ l’expression du temps $\int {\frac {dx}{u}}$ doit devenir une fonction de la seule variable $z.$ Soit donc $\Pi (z)$ cette fonction ; on aura en général

$\int {\frac {dx}{u}}=\Pi (z)+c,$

la constante $c$ devant être telle que $\int {\frac {dx}{u}}$ soit nul lorsque $x=0.$ Or, puisque $\mathrm {X}$ est une fonction quelconque de $x,$ supposons qu’elle devienne