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ment du mouvement on a $u=0,$ et à la fin $x=0,$ et par conséquent aussi $\xi =0$ (hypothèse), il est clair que le temps total sera égal à l’intégrale de $\mathrm {Y} dy$ prise de manière qu’elle soit nulle lorsque $y=0$ et qu’elle finisse lorsque $y=\infty ,$ et qu’ainsi il sera tout à fait indépendant de l’arc parcouru, comme la nature du Problème exige.

De là il s’ensuit que l’on peut rendre notre solution beaucoup plus générale en prenant pour y une fonction quelconque de $u$ et de $x,$ pourvu qu’elle soit nulle lorsque $u=0,$ et qu’elle soit infinie lorsque $x=0,$ conditions qui peuvent avoir lieu d’une infinité de manières.

Soit donc $y$ une fonction quelconque de $u$ et de $x$ telle, que $y=0$ quand $u=0,$ et $y=\infty$ quand $x=0,$ et soit $dy=\mathrm {M} du+\mathrm {N} dx\,;$ qu’on dénote par $\mathrm {Y}$ une fonction quelconque de $y$, et l’on aura en général, dans le cas du tautochronisme,

$dt=\mathrm {Y} dy,$

c’est-à-dire, en mettant pour $dt$ sa valeur ${\frac {dx}{u}},$ et pour $dy,$ $\mathrm {M} du+\mathrm {N} dx,$

$\left({\frac {1}{u}}-\mathrm {YN} \right)dx-\mathrm {YM} du=0.$

Or l’équation $udu+pdxs=0$ donne $du=-{\frac {pdx}{u}}\,;$ donc, faisant cette substitution, et divisant toute l’équation par $dx,$ on aura

${\frac {1}{u}}-\mathrm {YN} +{\frac {\mathrm {YM} p}{u}}=0,$

d’où l’on tire

$p={\frac {\mathrm {N} u}{\mathrm {M} }}-\mathrm {\frac {1}{MY}} .$

C’est là, ce me semble, la solution la plus simple et en même temps la plus générale qu’on puisse donner du Problème dont il s’agit.