Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/367

d’où l’on tire

1^o$\quad \pi =-iu\cos \zeta ,$

2^o$\quad \pi =-iu\cos \zeta -{\frac {i^{2}u^{2}\cot \mathrm {Z} \cos ^{2}\zeta }{2}},$

et ainsi de suite. Or, comme $i$ est une quantité fort petite, nous avons cru pouvoir nous en tenir à la première valeur approchée de $\pi ,$ savoir $-iu\cos \zeta ,$ d’où résulte l’équation

$\mathrm {Z'=Z} -iu\cos \zeta \,;$

cependant, lorsque l’angle $\mathrm {Z}$ est assez petit pour que la valeur de $\cot \mathrm {Z}$ soit fort considérable, il est clair que le terme ${\frac {i^{2}u^{2}\cot \mathrm {Z} \cos ^{2}\zeta }{2}}$ ne doit plus être négligé vis-à-vis du terme $iu\cos \zeta .$

Pour apprécier l’effet qui résulterait d’une telle négligence dans les passages des planètes sur le disque du Soleil, nous remarquerons que le rapport des termes dont il s’agit est exprimé en général par ${\frac {iu\cot \mathrm {Z} \cos \zeta }{2}}\,;$ de sorte que sa plus grande valeur est de ${\frac {iu\cot \mathrm {Z} }{2}}.$ Or, on a environ $\mathrm {Z} =16',$$i=\sin 10'',\ u=0{,}6316$ pour Mercure, et $u=2{,}6144$ pour Vénus, d’où l’on trouvera pour les passages de Mercure

${\frac {iu\cot \mathrm {Z} }{2}}=0,003284,$

et pour ceux de Vénus

${\frac {iu\cot \mathrm {Z} }{2}}=0,013594.$

Ainsi, l’erreur ne sera dans le premier cas que de ${\frac {3}{1000}}$ du total, mais elle sera de ${\frac {13}{1000}}$ dans le second, de sorte que si le plus grand effet de la parallaxe était de $8$ minutes, comme il le sera à très-peu près dans le passage de 1769, la plus grande erreur serait d’environ $6$ secondes.

Au reste, quelque petite que soit cette erreur, si quelque calculateur scrupuleux voulait absolument l’éviter, il le pourrait aisément. Pour