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or,

$\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)$

se réduit à cette forme

$\left(pp_{1}\pm \mathrm {B} qq_{1}\right)^{2}-\mathrm {B} \left(pq_{1}\pm qp_{1}\right)^{2},$

comme il est facile de s’en assurer par le développement de ces deux expressions ; donc, si l’on prend pour $p_{1}$ et $q_{1}$ des nombres entiers tels, que $pq_{1}-qp_{1}$ soit $1$ ou $-1,$ ce qui est toujours possible à cause que $p$ et $q$ sont premiers entre eux (numéro précédent), et qu’on fasse

$pp_{1}-\mathrm {B} qq_{1}=a,$

on aura

$\mathrm {A} r^{2}\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)=\alpha ^{2}-\mathrm {B} \,;$

par conséquent, $\mathrm {A}$ sera un diviseur de $\alpha ^{2}-\mathrm {B} .$

7. Pour trouver les nombres $p_{1}$ et $q_{1},$ qui peuvent satisfaire à la condition $pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,$ on réduira la fraction ${\frac {p}{q}}$ en une fraction continue, d’où l’on déduira, comme on sait, une suite de fractions convergentes vers ${\frac {p}{q}}$ et alternativement plus grandes ou plus petites que cette même fraction (voyez plus bas le n^o 29), et l’on prendra pour $p_{1}$ le numérateur de la fraction qui précédera immédiatement la fraction ${\frac {p}{q}}$ et pour $q_{1}$ le dénominateur de la même fraction ; si la fraction ${\frac {p_{1}}{q_{1}}}$ est plus petite que la fraction ${\frac {p}{q}},$ on aura

$pq_{1}-qp_{1}=1,$

et si ${\frac {p_{1}}{q_{1}}}>{\frac {p}{q}},$ on aura

$pq_{1}-qp_{1}=-1.$

8. Cette méthode est utile pour résoudre en général toutes les équations du premier degré à deux inconnues, lorsque ces inconnues doivent