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sera réduite à celle de l’équation

$\mathrm {A} _{2}=p_{2}^{2}-\mathrm {B} q_{2}^{2},$

dans laquelle $\mathrm {A_{2}<A_{1}}$ (abstraction faite des signes de $\mathrm {A} _{1}$ et de $\mathrm {A} _{2}.$)

En effet, dès qu’on aura trouvé les valeurs de $p_{2}$ et de $q_{2},$ il n’y aura qu’à chercher celles de $p_{1}$ et $q_{1}$ à l’aide des équations

$\alpha _{1}=p_{1}p_{2}-\mathrm {B} q_{1}q_{2},\quad p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\pm 1,$

lesquelles donnent

$p_{1}={\frac {\alpha _{1}p_{2}\mp \mathrm {B} q_{2}}{\mathrm {A} _{2}}},\quad q_{1}={\frac {\alpha _{1}q_{2}\mp p_{2}}{\mathrm {A} _{2}}}\,;$

si ces expressions donnent (en prenant à volonté les signes supérieurs ou inférieurs) des nombres entiers, alors on aura par les expressions de $p_{2}$ et $q_{2}$ trouvées ci-dessus

$\pm p=p_{2}-\mu _{1}p_{1},\quad \pm q=q_{2}-\mu _{1}q_{1},$

et le Problème sera résolu.

Mais, si les expressions de $p_{1}$ et $q_{1}$ ne donnent que des nombres rompus, ce sera une marque que l’équation proposée n’est point résoluble en entiers.

Maintenant, puisque l’on a $p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\pm 1,$ il est visible que $p_{2}$ et $q_{2}$ seront premiers entre eux ; d’où il s’ensuit que l’équation

$\mathrm {A} _{2}=p_{2}^{2}-\mathrm {B} q_{2}^{2}$

sera parfaitement semblable à l’équation

$\mathrm {A} _{1}=p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2},$

et que par conséquent on y pourra appliquer les mêmes raisonnements et les mêmes opérations que nous venons de faire sur celle-ci, et ainsi de suite.