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que $\alpha _{n-1}$ soit divisible par $b\,;$ si cette condition a lieu, alors on aura

${\begin{alignedat}{2}p_{n}=&0,&q_{n}=&1,\\p_{n-1}=&1,\qquad &q_{n-1}=&{\frac {\alpha _{n-1}}{b}},\end{alignedat}}$

et l’on pourra en remontant trouver les valeurs de $p$ et $q\,;$ sur quoi il est bon de remarquer que, quoique l’on ait trouvé $p_{n-1}=\pm 1,$ il serait cependant inutile de faire $p_{n-1}=-1,$ parce qu’il est facile de voir qu’à cause de $p_{n}=0$ les valeurs de $p_{n-2},p_{n-3},\ldots p$ ne différeraient que par les signes de celles qu’on a en faisant $p_{n-1}=1.$

2^o Soit $\mathrm {A} _{n}<b\,;$ dans ce cas il est visible que l’équation

$\mathrm {A} _{n}=p_{n}^{2}+bq_{n}^{2}$

ne saurait avoir lieu, à moins que l’on n’ait $q_{n}=0$ et $\mathrm {A} _{n}=p_{n}^{2},$ ce qui donnera

$p_{n-1}={\frac {\alpha _{n-1}}{p_{n}}},\quad q_{n-1}=\pm {\frac {1}{p_{n}}}\,;$

d’où l’on voit qu’à moins que l’on n’aita $p_{n}=1,$ et par conséquent aussi $\mathrm {A} _{n}=1,$ les valeurs de $p_{n-1}$ et de $q_{n-1}$ ne pourront être des nombres entiers.

Donc, si l’on pousse la série des nombres $\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots$ jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme $\mathrm {A} _{n}$ moindre que $b,$ et que ce terme soit différent de l’unité, on en devra conclure que l’équation proposée

$\mathrm {A} =p^{2}+bq^{2}$

n’est point résoluble en nombres entiers.

Si au contraire on a $\mathrm {A} _{n}=1,$ alors on aura, en ne donnant à $q_{n-1}$ que le signe $+,$ par une raison semblable à celle que nous avons dite ci-dessus à l’égard de $p_{n-1},$

${\begin{alignedat}{2}p_{n}=&1,&q_{n}=&0,\\p_{n-1}=&\alpha _{n-1},\qquad &q_{n-1}=&1,\end{alignedat}}$

et l’on pourra en remontant trouver les valeurs cherchées de $p$ et $q.$

De là on voit que chaque valeur de $\alpha$ (23) ne pourra donner qu’une