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L’équation

$r_{2}s_{3}-s_{2}r_{3}=1$

donnera pareillement

${\frac {r_{2}}{s_{2}}}-{\frac {r_{3}}{s_{3}}}={\frac {1}{s_{2}s_{3}}},$

et ajoutant l’équation

${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {1}{ss_{1}}}-{\frac {1}{s_{1}s_{2}}},$

on aura

${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{3}}{s_{3}}}={\frac {1}{ss_{1}}}-{\frac {1}{s_{1}s_{2}}}+{\frac {1}{s_{2}s_{3}}}\,;$

donc puisque ${\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<{\frac {1}{s^{2}}},$ on aura

${\frac {r_{3}}{s_{3}}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<{\frac {1}{s^{2}}}-{\frac {1}{ss_{1}}}+{\frac {1}{s_{1}s_{2}}}-{\frac {1}{s_{2}s_{3}}}\,;$

or, à cause de $s_{1}<s,\ s_{2}<s_{1},\ s_{3}<s_{2},$ on aura

${\frac {1}{s^{2}}}-{\frac {1}{ss_{1}}}<0\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{s_{1}s_{2}}}-{\frac {1}{s_{2}s_{3}}}<0\,;$

donc aussi ${\frac {r_{3}}{s_{3}}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<0\,;$ donc $r_{3}^{2}-\mathrm {B} s_{3}^{2}<0,$ donc on aura

$r_{3}^{2}-\mathrm {B} s_{3}^{2}=-\mathrm {E} _{3},$

$\mathrm {E} _{3}$ étant un nombre positif, et ainsi de suite.

Supposons en second lieu que l’on ait

$-\mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

donc

${\frac {r^{2}}{s^{2}}}-\mathrm {B} =-{\frac {\mathrm {E} }{s^{2}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}=-{\frac {\mathrm {E} }{s^{2}\left({\cfrac {r}{s}}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}}\,;$

donc, à cause de $\mathrm {E<{\sqrt {B}}} ,$ on aura ${\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<0$ et $>-{\frac {1}{s^{2}}}.$ Or on a dans ce cas

$rs_{1}-sr_{1}=-1\,;$

donc

${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{1}}{s_{1}}}=-{\frac {1}{ss_{1}}}\,;$