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donc $\mathrm {E} _{1}$ ne peut être $<{\sqrt {\mathrm {B} }}-\eta$ que $\mathrm {E}$ ne soit en même temps $>{\sqrt {B}}+\eta \,;$ mais $\mathrm {E<{\sqrt {B}}}$ (par hypothèse), donc il est impossible que $\varepsilon$ soit négatif.

2^o Supposons $\varepsilon _{1}=-\eta _{1},$ $\eta _{1}$ étant positif, on aura $\varepsilon _{2}=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}+\eta _{1},$ et par conséquent $\varepsilon _{2}$ positif ; mais on doit avoir $\varepsilon _{2}^{2}<\mathrm {B} ,$ donc il faudra que $\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}+\eta _{1}<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et par conséquent $\lambda _{2}<{\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}-\eta _{1}}{\mathrm {E} _{2}}}\,;$ donc pour que $\lambda _{2}$ puisse être entier positif, comme il le doit, il faut que $\mathrm {E_{2}<{\sqrt {B}}} -\eta _{1}\,;$ or,

$\mathrm {E_{1}E_{2}=B-\eta _{1}^{2}=\left({\sqrt {B}}+\eta _{1}\right)\left({\sqrt {B}}-\eta _{1}\right)} ,$

donc $\mathrm {E} _{2}$ ne saurait être $<{\sqrt {\mathrm {B} }}-\eta _{1}$ que $\mathrm {E} _{1}$ ne soit $>{\sqrt {\mathrm {B} }}-\eta _{1},$ et à plus forte raison $\mathrm {E_{1}>{\sqrt {B}}} \,;$ mais l’équation $\varepsilon _{1}=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon$ donne, à cause de $\varepsilon _{1}=-\eta _{1},$ $\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}=\varepsilon -\eta _{1},$ et par conséquent, puisque $\varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }}$ $\lambda _{1}\mathrm {E_{1}<{\sqrt {B}}} \,;$ ce qui répugne tant que $\lambda _{1}$ est entier positif.

Donc $\varepsilon _{1}$ sera nécessairement positif, et l’on démontrera de même que les nombres $\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\ldots ,$ dans les équations $(\lambda ),$ devront être aussi tous positifs.

33. Maintenant, puisqu’on doit avoir $\varepsilon ^{2},\varepsilon _{1}^{2},\varepsilon _{2}^{2},\ldots$ moindres que $\mathrm {B} ,$ il est clair qu’il faudra que $\varepsilon ,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\ldots$ soient tous $<{\sqrt {\mathrm {B} }}.$

Supposons donc que $\varepsilon$ soit en effet $<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et voyons comment on doit déterminer les nombres $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ dans les équations $(\lambda )$ pour que les nombres $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\ldots$ soient tous moindres que ${\sqrt {\mathrm {B} }}.$

1^o Soit $\varepsilon _{1}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ donc $\lambda _{1}\mathrm {E_{1}-\varepsilon <{\sqrt {B}}} ,$ donc

$\lambda _{1}<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon }{E_{1}}} .$

Mais, comme $\lambda _{1}$ doit être un nombre entier positif, il faudra que $\mathrm {E_{1}<{\sqrt {B}}} +\varepsilon ,$ et par conséquent, à cause de

$\mathrm {EE_{1}=B-\varepsilon ^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon \right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon \right)} ,$

que $\mathrm {E}$ soit $>{\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon \,;$ ainsi, le nombre $\varepsilon$ devra être $<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et $>\mathrm {{\sqrt {B}}-E} .$