Ayant trouvé une ou plusieurs valeurs de 
on formera d’après chacune de ces valeurs, et par le moyen des formules du numéro précédent, les séries 
et 
et si l’équation proposée est résoluble en nombres entiers, on parviendra nécessairement à un terme de la série 
qui sera égal à l’unité, et qui occupera une place paire ou impaire suivant que, dans l’équation
ce sera le signe supérieur ou l’inférieur qui aura lieu. En effet, nous avons vu (29) qu’en continuant les séries des nombres 
et 
on arrivera nécessairement à des termes comme 
et 
tels que 
et 
or on a, par les formules 
lorsque le quantième 
est pair, et
lorsque le quantième est impair ; donc on aura dans le premier cas 
et dans le second 
d’où l’on voit que le premier cas ne peut avoir lieu qu’en prenant le signe supérieur et faisant 
et le second ne peut avoir lieu qu’en prenant le signe inférieur et faisant de même à cause que 
doit être positif (30).
Donc, lorsque l’équation
peut se résoudre en nombres entiers, il doit y avoir dans la série 
un terme comme le quantième étant pair ou impair suivant qu’on aura le signe supérieur ou l’inférieur dans l’équation dont il s’agit ; et comme 
est toujours 
il est clair qu’on doit parvenir à ce terme 
par la méthode du numéro précédent, et alors on fera et 
De plus, il est clair par les formules 
que l’on doit avoir
