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donc, multipliant ces deux équations ensemble, il viendra

$\mathrm {X^{2}-BY^{2}={\frac {\left(\varepsilon ^{2}-B\right)\left(\varepsilon _{1}^{2}-B\right)\left(\varepsilon _{2}^{2}-B\right)\ldots \left(\varepsilon _{\mu -1}^{2}-B\right)}{E^{2}E_{1}^{2}E_{1}^{2}\ldots E_{\mu -1}^{2}}}} .$

Mais on a, par les formules $(\varkappa ),$

$\mathrm {\varepsilon ^{2}-B=-EE_{1},\quad \varepsilon _{1}^{2}-B=-E_{1}E_{2}} ,\ldots \,;$

donc

$\mathrm {X^{2}-BY^{2}=\pm {\frac {EE_{1}E_{1}E_{2}E_{2}E_{3}\ldots E_{\mu -1}E_{\mu }}{E^{2}E_{1}^{2}E_{1}^{2}\ldots E_{\mu -1}^{2}}}} ,$

savoir

$\mathrm {X^{2}-BY^{2}=\pm {\frac {E_{\mu }}{E}}} =\pm _{1},$

le signe supérieur étant pour le cas où $\mu$ est pair, et l’inférieur pour celui où $\mu$ est impair.

42. À l’égard des valeurs de $\mathrm {R} _{1}$ et $\mathrm {S} _{1}$ qui entrent dans les expressions de $r_{1}$ et $s_{1},$ on peut les trouver de la même manière que celles de $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} ,$ par le développement de la quantité

${\frac {\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\ldots \left(\varepsilon _{m-1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E_{2}E_{3}} \ldots \mathrm {E} _{m-1}}},$

et il est facile de voir qu’on aura les mêmes expressions que pour $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} ,$ en augmentant seulement dans les formules $(\varpi )$ les exposants d’une unité, c’est-à-dire en y mettant $l_{1},l_{2},l_{3},\ldots$ à la place de $l,l_{1},l_{2},\ldots$ et $\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ à la place de $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots \,;$ ainsi l’on aura nécessairement pour $\mathrm {R} _{1}$ et $\mathrm {S} _{1}$ des nombres entiers, ainsi que pour $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} \,;$ mais, pour ne pas avoir de nouvelles formules à calculer, il suffira de prendre l’équation du n^o 38, savoir

$r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}={\frac {\mathrm {E} _{1}\left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}}},$

laquelle, à cause de $\mathrm {B} -\varepsilon ^{2}=\mathrm {EE_{1}} ,$ se change en celle-ci

$r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}={\frac {\left({\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon \right)\left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E} }}={\frac {\mathrm {B} s-\varepsilon r+(r-\varepsilon s){\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} }}\,;$