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dans ce cas

${\begin{alignedat}{2}p\ \ =&p_{2}-2p_{1},&q\ \ =&q_{2}-2q_{1},\\p_{1}=&p_{3}-2p_{2},&q_{1}=&q_{3}-2q_{2},\\p_{2}=&p_{4}-4p_{3},\qquad &q_{2}=&q_{4}-4q_{3}.\end{alignedat}}$

Ensuite on aura $\lambda <{\frac {{\sqrt {30}}-5}{1}}>{\frac {{\sqrt {30}}-5}{1}}-1,$ donc

$\lambda =0,\quad {\text{et par conséquent}}\quad \varepsilon =\lambda \mathrm {E} -e=5,$

comme ci-dessus ; de sorte que les valeurs de $\xi$ et $\psi$ seront les mêmes que nous avons déjà trouvées. À l’égard de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V} ,$ on aura (à cause de $\mathrm {R=1,\ S} =0,\ e=-5,\ \mathrm {E} =1$)

$\mathrm {T} =-5,\quad \mathrm {V} =1\,;$

donc

$\rho =-5\xi +30\psi ,\quad \sigma =-5\psi +\xi \,;$

donc

${\begin{alignedat}{2}p_{2}=&\rho \,\ -4r\ \ =-\ \ 9\xi +\ \ 30\psi ,&q_{2}=&\sigma \ -4s\ \ =-\ \ 9\psi +\ \ \xi ,\\p_{1}=&r\ \ -2p_{2}=+19\xi -\ \ 60\psi ,&q_{1}=&s\ \ -2q_{2}=+19\psi -2\xi ,\\p\,\ =&p_{2}-2p_{1}=-47\xi +150\psi ,\qquad &q\,\ =&q_{2}-2q_{1}=-47\psi +5\xi .\end{alignedat}}$

Ainsi, en combinant les deux formules, on aura en général

$p=\pm 47\xi +150\psi ,\quad q=\pm 47\psi +5\xi .$

Et comme $1459$ est un nombre premier, il n’y aurait pas d’autres solutions que celles que nous venons de trouver.

Exemple V — Étant proposée l’équation

$210=u^{2}-46t^{2}$

dont on connaît déjà cette solution : $u=292$ et $t=43,$ on demande toutes les autres solutions possibles en nombres entiers.

Comme $210$ ne contient aucun facteur carré, $u$ et $t$ devront être toujours premiers entre eux (22) ; ainsi l’on fera

$u=p,\quad t=q,\quad \mathrm {A} =210,\quad \mathrm {B} =46,$

de sorte que l’équation à résoudre sera

$210=p^{2}-46q^{2}.$