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Donc, puisque $\mathrm {E_{12}=E}$ et $\mathrm {E_{13}=E_{1}} ,$ on fera $\mathrm {E_{12}=E_{\mu }} ,$ savoir $\mu =12,$ et comme $\mathrm {E} _{8}=1,$ on fera $\mathrm {E} _{8}=E_{m},$ savoir $m=8.$

On formera donc, par les formules $(\varpi )$ du n^o 39, la série $l,l_{1},l_{2},\ldots ,$ jusqu’à $l_{12},$ en cette sorte

${\begin{aligned}l\ \ \ \,=&1,\\l_{1}\ \,=&\ \ 2l\ \ \ \,=2,\\l_{2}\ \,=&\ \ 6l_{1}\ \,+l\ \ \ \,=13,\\l_{3}\ \,=&\ \ 2l_{2}\ \,+l_{1}\ \,=28,\\l_{4}\ \,=&\ \ 1l_{3}\ \,+l_{2}\ \,=41,\\l_{5}\ \,=&\ \ 1l_{4}\ \,+l_{3}\ \,=69,\\l_{6}\ \,=&\ \ 3l_{5}\ \,+l_{4}\ \,=248,\\l_{7}\ \,=&\ \ 1l_{6}\ \,+l_{5}\ \,=317,\\l_{8}\ \,=&12l_{7}\ \,+l_{6}\ \,=4052,\\l_{9}\ \,=&\ \ 1l_{8}\ \,+l_{7}\ \,=4369,\\l_{10}=&\ \ 3l_{9}\ \,+l_{8}\ \,=17\,159,\\l_{11}=&\ \ 1l_{10}+l_{9}\ \,=21\,528,\\l_{11}=&\ \ 1l_{11}+l_{10}=38\,687,\end{aligned}}$

et l’on aura (40, 41)

$\mathrm {R} =\beta l_{7}+l_{6},\quad \mathrm {S} =l_{7},\quad \mathrm {X} =l_{12}-{\frac {\varepsilon l_{11}}{\mathrm {E} }},\quad \mathrm {Y} ={\frac {l_{11}}{\mathrm {E} }},$

savoir, à cause de $\beta =6,$

$\mathrm {R} =2150,\quad \mathrm {S} =317,\quad \mathrm {X} =24335,\quad \mathrm {Y} =3588.$

Donc, supposant en général

$\xi ={\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}+\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2}},\quad \psi ={\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},$

on aura (38)

$r=2150\xi +317\times 46\psi ,\quad s=2150\psi +317\xi ,$

et l’exposant $n$ pourra être quelconque, pourvu que $n\mu +m=16n+8$ soit positif et pair ; de sorte que $n$ pourra être un nombre quelconque entier positif (37).