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les expressions suivantes

${\begin{alignedat}{2}p=&16\xi -46\psi ,&q=&16\psi -\xi ,\\p=&16\xi +46\psi ,&q=&16\psi +\xi ,\\p=&76\xi +11\times 46\psi ,&q=&76\psi +11\xi ,\\p=&292\xi +43\times 46\psi ,&q=&292\psi +43\xi ,\\p=&536\xi +79\times 46\psi ,&q=&536\psi +79\xi ,\\p=&4\,768\xi +703\times 46\psi ,&q=&4\,768\psi +703\xi ,\\p=&8\,756\xi +1\,291\times 46\psi ,&q=&8\,756\psi +1\,291\xi ,\\p=&33\,932\xi +5\,003\times 46\psi ,\qquad &q=&33\,932\psi +5\,003\xi ,\end{alignedat}}$

où

${\begin{aligned}\xi =&{\frac {\left(24\,335+3\,588{\sqrt {46}}\right)^{n}+\left(24\,335-3\,588{\sqrt {46}}\right)^{n}}{2}},\\\psi =&{\frac {\left(24\,335+3\,588{\sqrt {46}}\right)^{n}-\left(24\,335-3\,588{\sqrt {46}}\right)^{n}}{2{\sqrt {46}}}},\end{aligned}}$

$n$ étant un nombre quelconque entier positif.

Et ces formules renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles de l’équation dont il s’agit.

Si l’on fait $n=0,$ on aura $\xi =1$ et $\psi =0,$ et les valeurs de $p$ et $q$ deviendront

${\begin{alignedat}{2}p=&16,&q=&1,\\p=&76,&q=&11,\\p=&292,&q=&43,\\p=&536,&q=&79,\\p=&4\,768,&q=&703,\\p=&8\,756,&q=&1\,291,\\p=&33\,932,\qquad &q=&5\,003,\end{alignedat}}$

qui sont les plus petites qui puissent avoir lieu ; ensuite, faisant successivement $n=1,2,3,\ldots ,$ on trouvera des valeurs de $p$ et $q$ toujours plus grandes.

Exemple VI. — Soit encore proposée l’équation

$10=u^{2}-431t^{2}.$