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sera nécessairement divisible par $r,$ quels que soient les nombres $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {B} .$ Mais, par le théorème de Fermat déjà cité (51), $\mathrm {X} ^{r-1}-1$ est toujours divisible par $r$ lorsque $\mathrm {X}$ ne l’est pas, de sorte que $\mathrm {X} ^{r}-\mathrm {X}$ sera toujours divisible par $r,$ quel que soit $\mathrm {X} \,;$ de même $\mathrm {Y} ^{r}-\mathrm {Y}$ sera aussi toujours divisible par $r,$ et par conséquent

$\left(\mathrm {Y} ^{r}-\mathrm {Y} \right)\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {B} }}$

le sera aussi ; donc, ajoutant ou ôtant ces quantités de la précédente, il s’ensuit que

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-\mathrm {X} ^{r}\mp \mathrm {YB} ^{\frac {r-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {B} }}$

sera toujours divisible par $r.$

Donc : 1^o si $\mathrm {B}$ est divisible par $r,$ il faudra que $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-\mathrm {X}$ le soit aussi ; donc, le produit de cette quantité par celle-ci $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}+\mathrm {X} ,$ savoir

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{2r}-\mathrm {X} ^{2}$

le sera aussi ; mais on as $\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =1$ (par hypothèse), donc $\mathrm {X} ^{2}-1$ sera aussi divisible par $r\,;$ donc, ajoutant

$\mathrm {X} ^{2}-1$

à la quantité précédente, on aura la quantité

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{2r}-1,$

qui sera nécessairement divisible par $r.$

2^o Si $\mathrm {B}$ n’est pas divisible par $r,$ et que $\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}+1$ le soit,

$\mathrm {YB} ^{\frac {r-1}{2}}\mathrm {{\sqrt {B}}+Y{\sqrt {B}}}$

le sera aussi ; donc, ajoutant ou retranchant cette quanti té de

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-\mathrm {X} \mp \mathrm {YB} ^{\frac {r-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {B} }},$

on aura la quantité

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-\mathrm {X\pm Y{\sqrt {B}}} ,$