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En général, on voit que la question se réduit à trouver on nombre $n$ qui, étant divisé par $r^{m-1}\rho ,$ donne le reste $\mathrm {N} \,;$ étant divisé par $r_{1}^{m_{1}-1}\rho _{1},$ donne le reste $\mathrm {N} _{1}\,;$ étant divisé par $r_{2}^{m_{2}-1}\rho _{2},$ donne le reste $\mathrm {N} _{2},$ et ainsi de suite. Or, on a plusieurs méthodes abrégées pour résoudre ces sortes ch » Problèmes.

La plus simple est celle-ci : soient les diviseurs $\mathrm {M,M_{1},M_{2}} ,\ldots ,$ en sorte que l’on ait dans notre cas $\mathrm {M} =r^{m-1}\rho ,\ \mathrm {M} _{1}=r_{1}^{m_{1}-1}\rho _{1},\ldots ,$ et les restes $\mathrm {N,N_{1},N_{2}} ,\ldots .$ On cherchera d’abord le plus petit multiple commun de tous les diviseurs $\mathrm {M,M_{1},M_{2}} ,\ldots ,$ et on rappellera $\mathrm {P} .$ On cherchera ensuite le plus petit multiple commun de $\mathrm {M,M_{2},M_{3}} ,\ldots ,$ savoir de tous les diviseurs à l’exception de $\mathrm {M} _{1},$ et l’on appellera ce multiple $\mathrm {Q} \,;$ on cherchera de même le plus petit multiple commun de $\mathrm {M,M_{1},M_{3}} ,\ldots ,$ c’est-à-dire de tous les diviseurs moins $\mathrm {M} _{2},$ et on l’appellera $\mathrm {Q} _{1}$ et ainsi de suite. Enfin on cherchera par la méthode du n^o 8 des nombres entiers $\mu ,\nu ,\mu _{1},\nu _{1},$$\mu _{2},\nu _{2},\ldots ,$ tels que

${\begin{aligned}\mathrm {\mu \ \,Q\ \ -\nu \,\ M_{1}} &=\mathrm {N_{1}-N} ,\\\mathrm {\mu _{1}Q_{1}-\nu _{1}M_{2}} &=\mathrm {N_{2}-N} ,\\\mathrm {\mu _{2}Q_{2}-\nu _{2}M_{3}} &=\mathrm {N_{3}-N} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

(le nombre de ces équations doit être égal à celui des diviseurs $\mathrm {M,M_{1}} ,\ldots$ moins un), et faisant, pour abréger,

$\mathrm {N+\mu Q+\mu _{1}Q_{1}+\mu _{2}Q_{2}+\ldots =L} ,$

on aura en général

$n=\lambda \mathrm {P+L} ,$

$\lambda$ étant un nombre entier quelconque.

La démonstration est facile à déduire du n^o 8 ; ainsi nous ne nous y arrêterons pas.

Si les nombres $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {M} _{1}$ sont premiers entre eux, il est toujours possible de résoudre l’équation

$\mathrm {\mu Q-\nu M_{1}=N_{1}-N} ,$

et même d’une infinité de manières (8) ; mais il suffira pour notre objet d’avoir une seule valeur de $\mu ,$ pour la substituer dans la quantité $\mathrm {L} .$