Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/530

expressions qui deviendront rationnelles par la substitution des valeurs de $p_{1}^{m},p_{2}^{m},p_{3}^{m},\ldots ,$ comme il est facile de s’en convaincre par cette considération que l’on a

${\begin{aligned}&a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =0,\\&a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\ldots =0,\\&a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+a_{3}^{n}+\ldots =0,\\&a_{1}^{n+1}+a_{2}^{n+1}+a_{3}^{n+1}+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&a_{1}^{2n}+a_{2}^{2n}+a_{3}^{2n}+\ldots =0,\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; de sorte qu’on pourra avoir les valeurs de $\mathrm {T,V,X} ,\ldots ,$ indépendamment des racines $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots .$

Cette même considération suffit aussi pour faire trouver en général la valeur de $\mathrm {P} =p_{1}p_{2}p_{3}\ldots$ sans connaître les racines $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,;$ car, si l’on fait

${\begin{aligned}p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots =&\alpha ,\\p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+\ldots =&\beta ,\\p_{1}^{3}+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}+\ldots =&\gamma ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

et ensuite

${\begin{aligned}b&={\frac {\alpha ^{2}-\beta }{2}},\\c&={\frac {\alpha b-\beta \alpha +\gamma }{3}},\\d&={\frac {\alpha c-\beta b+\gamma \alpha -\delta }{4}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

la quantité $\mathrm {P}$ sera égale, comme on sait, au terme $n$^ième de la série $a,b,$$c,d,\ldots \,;$ mais il est facile de voir que les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ne peuvent contenir d’autres fonctions des racines $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ que la somme de ces racines, ou de leurs carrés, ou de leurs cubes, etc. ; donc, etc.

En général, il est évident que la quantité $\mathrm {P}$ n’est autre chose que, le