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donc

$r=\mathrm {T} ,\quad s=-\mathrm {V} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {X=0,\quad Y=0,\quad Z} =0,\ldots ,$

et la valeur de $q$ sera égale à $p_{1}p_{2}p_{3}\ldots .$

Donc le Problème sera résoluble, au moins par cette méthode, toutes les fois qu’on pourra satisfaire aux équations

$\mathrm {X=0,\quad Y=0,\quad Z} =0\,;$

mais, quoique ces équations ne soient qu’au nombre de $n-2,$ et que les indéterminées $t,u,x,\ldots$ soient au nombre de $n,$ il arrivera bien souvent qu’il ne sera pas possible de les résoudre rationnellement.

Le cas de $n=2$ ayant déjà été examiné (1), faisons $n=3,$ et l’on aura

$p=t+ua{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+xa^{2}{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} ^{2}}}.$

Soit maintenant $m=2,$ en sorte qu’il s’agisse de résoudre l’équation

$r^{3}-\mathrm {A} s^{3}=q^{2},$

et faisant le carré de $p,$ on aura

$p^{2}=t^{2}+2ux\mathrm {A} +\left(\mathrm {A} x^{2}+2tu\right)a{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+\left(u^{2}+2tx\right)a^{2}{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} ^{2}}},$

en sorte qu’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&t^{2}+2\mathrm {A} ux,\\\mathrm {V} =&\mathrm {A} x^{2}+2tu,\\\mathrm {X} =&u^{2}+2tx\,;\end{aligned}}$

par conséquent,

${\begin{aligned}r=&t^{2}+2\mathrm {A} ux,\\s=&-\mathrm {A} x^{2}-2tu,\end{aligned}}$

et l’équation à laquelle il faudra satisfaire sera

$u^{2}+2tx=0,$

laquelle donne sur-le-champ

$x=-{\frac {u^{2}}{2t}}\,;$