Une seconde imperfection regarde la nature même de la méthode par laquelle on approche de la valeur de la racine cherchée ; suivant cette méthode, on néglige, à chaque opération, des termes dont on ne connaît pas la valeur ; de sorte qu’il est impossible de pouvoir juger de la quantité de l’approximation, et de s’assurer du degré d’exactitude qui doit résulter de chaque correction.
D’ailleurs, ne pourrait-il pas arriver que la série qui donne la racine cherchée fut très-peu convergente, ou même qu’elle devînt divergente après avoir été convergente dans ses premiers termes ? Au moins, il n’est pas démontré que cela ne puisse jamais avoir lieu dans la méthode dont nous parlons.
Enfin, quand même la série serait toujours convergente, il est clair qu’elle ne donnerait jamais qu’une valeur approchée de la racine dans le cas même où elle serait égale à un nombre commensurable. Il est vrai que l’on a des méthodes particulières pour trouver les racines commensurables ; mais c’est toujours une grande imperfection de la méthode dont il s’agit de ne pas donner la valeur exacte de ces racines.
1. Théorème I. — Si l’on a une équation quelconque, et que l’on trouve deux nombres tels, qu’étant substitués successivement à la placede l’inconnue de cette équation, ils donnent deux résultats de signe contraire, l’équation aura nécessairement au moins une racine réelle dont la valeur sera entre ces deux nombres.
Ce théorème est connu depuis longtemps, et l’on a coutume de le démontrer par la théorie des lignes courbes ; mais on peut aussi le démontrer directement par la théorie des équations, en cette sorte. Soient l’inconnue de l’équation, et ses racines ; l’équation se réduira,
