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plus elles seront égales deux à deux, et de signes contraires ; de sorte que l’équation en $u$ manquera nécessairement de toutes les puissances impaires de $u.$ Donc, en faisant ${\frac {m(m-1)}{2}}=n{\frac {et}{u^{2}=v}}$, l’équation dont il s’agit sera de cette forme

(D)

$v^{n}-av^{n-1}+bv^{n-2}-cv^{n-3}+\ldots =0\,;$

2^o Que $(\alpha -\beta )^{2},\ (\alpha -\gamma )^{2},\ (\beta -\gamma )^{2},\ldots$ étant les différentes valeurs de $v$ dans l’équation (D), le coefficient $a$ sera égal à leur somme, le coefficient $b$ à la somme de tous leurs produits deux à deux, etc. Or il est facile de voir que

${\begin{aligned}(\alpha -\beta )^{2}+(\alpha -\gamma )^{2}+(\beta -\gamma )^{2}+\ldots =&(m-1)\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots \right)\\&-2(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma +\ldots )\,;\end{aligned}}$

mais on sait que

${\begin{aligned}&\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma +\ldots =\mathrm {B} ,\\&\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots \mathrm {A^{2}-2B} \,;\end{aligned}}$

donc on aura

$a=(m-1)\left(\mathrm {A^{2}-2B} \right)-2\mathrm {B} ,$

savoir

$a=(m-1)\mathrm {A} ^{2}-2m\mathrm {B} \,;$

et l’on pourra de la même manière trouver la valeur des autres coefficients $b,c,\ldots .$

Pour y parvenir plus facilement, supposons

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}&=\alpha \ \,+\beta \ \,+\gamma \ \,+\ldots ,\\\mathrm {A} _{2}&=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots ,\\\mathrm {A} _{3}&=\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et l’on aura, comme on sait,

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}&=\mathrm {A} ,\\\mathrm {A} _{2}&=\mathrm {AA_{1}-2B} ,\\\mathrm {A} _{3}&=\mathrm {AA_{2}-BA_{1}+3C} ,\\\mathrm {A} _{4}&=\mathrm {AA_{3}-BA_{2}+CA_{1}-4D} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$