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D’où l’on tirera, si l’on veut, des fractions convergentes, comme dans l’Exemple précédent (23 et 24).

Pour trouver maintenant la valeur approchée de la racine négative, on reprendra l’équation

$x^{3}-7x-7=0,$

dans laquelle on a déjà trouvé que la valeur entière approchée est $3\,;$ ainsi l’on fera $x=3+{\frac {1}{y}},$ ce qui donnera, en changeant les signes,

$y^{3}-20y^{2}-9y-1=0,$

et, comme cette équation ne peut avoir qu’une seule racine réelle plus grande que $1$ (19, 2^o), on en trouvera la valeur approchée en faisant $y=1,2,\ldots ,$ jusqu’à ce que l’on rencontre deux résultats consécutifs de signe contraire, ce qui arrivera lorsque $y=20,21\,;$ de sorte que la valeur dont il s’agit sera $20.$

On fera donc $y=20+{\frac {1}{u}},\ldots .$

De cette manière, la racine négative de l’équation proposée sera

$x=-3-{\frac {1}{20+{\cfrac {1}{3+\ldots }}}}.$