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dans ce point on a aussi

$(\varphi )=\int (\mathrm {Z} )=0,$

donc

$\delta (\varphi )=0\,;$

de sorte que la valeur de $\delta df$ sera égale à ce que devient la quantité

${\begin{alignedat}{4}&q\delta x&+&q'\delta dx&+&q''\delta d^{2}x&+&\ldots \\+&r\delta y&+&r'\delta dy&+&r''\delta d^{2}y&+&\ldots \\+&s\delta z&+&s'\delta dz&+&s''\delta d^{2}z&+&\ldots \\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

lorsque $x=a,y=b,z=c,\ldots .$

Quant aux valeurs de $\delta d^{2}f,\delta d^{3}f,\ldots ,$ il ne sera pas nécessaire de les chercher, parce qu’elles n’entreront point dans l’équation déterminée (G).

On voit par ces deux exemples comment il faudra s’y prendre dans des cas plus compliqués, ainsi nous n’en dirons pas davantage ici. Nous nous contenterons seulement d’observer en général que la variable indéterminée $\xi$ pourra toujours se déterminer par l’intégration de l’équation $\mathrm {P} =0,$ lorsque la fonction $\varphi$ sera donnée par une expression formée comme on voudra des variables $x,y,z,\ldots ,$ et de leurs différentielles, et qui renferme de plus autant de signes d’intégration qu’on voudra ; mais lorsque la fonction $\varphi$ ne sera donnée que par une équation différentielle d’un degré quelconque, alors l’indéterminée $\xi$ dépendra d’une équation différentielle du même degré, laquelle pourra n’être pas intégrable ; mais cela n’apportera aucun obstacle à la solution du Problème ; car dès qu’on aura trouvé les équations du maximum ou du minimum il n’y aura qu’à éliminer la quantité $\xi$ par le moyen de l’équation différentielle $\mathrm {P} =0\,;$ mais il faudra ensuite avoir égard, dans l’introduction des constantes arbitraires, aux conditions $\mathrm {(P'')=0,(P''')} =0,\ldots ,$

VIII.

Les principaux avantages de ma méthode des variations pour la solution des problèmes de maximis et minimis consistent :

1^o Dans la simplicité et la généralité du calcul, comme on peut