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Donc, si l’on ajoute la première multipliée par $h_{\varpi }$ à la deuxième multipliée par $\mathrm {H} _{\varpi },$ et de même la troisième multipliée par $h_{\varpi }$ à la quatrième multipliée par $\mathrm {H} _{\varpi },$ et qu’on fasse, pour abréger,

$-\mathrm {H_{\varpi }P} +h_{\varpi }=\mathrm {G} _{\varpi },$

on aura, à cause de $h_{\varpi }\mathrm {H} _{\varpi -1}-\mathrm {H} _{\varpi }h_{\varpi -1}=\pm 1$ (27),

${\begin{aligned}&l_{\rho }={\frac {\begin{aligned}&\left(f_{\mu }+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\left(f_{\mu }-l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)} \mathrm {\left(K_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\&\mathrm {L} _{\rho }={\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(F_{\mu }+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)} \mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(F_{\mu }-L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)} \mathrm {\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)} \mathrm {\left(K_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\\end{aligned}}$

$\rho$ étant $=\mu +n\nu +\varpi .$

30. Ainsi, lorsqu’à l’aide des quantités

$\lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \lambda _{3},\ldots ,\quad \lambda _{\mu +\nu },$

on aura calculé, par les formules (A) et (C), les quantités

$l,\quad l_{1},\quad l_{2},\ldots ,\quad \mathrm {L,\quad L_{1},\quad L_{2}} ,\ldots ,$

jusqu’à $l_{\mu }$ et $\mathrm {L} _{\mu },$ et les quantités

$h,\quad h_{1},\quad h_{2},\ldots ,\quad \mathrm {H,\quad H_{1},\quad H_{2}} ,\ldots ,$

jusqu’à $h_{\nu }$ et $\mathrm {H} _{\nu },$ on pourra, par les formules précédentes, trouver les valeurs de $l_{\rho }$ et de $\mathrm {L} _{\rho },$ c’est-à-dire les termes de la fraction ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},$ quel que soit l’exposant du quantième $\rho \,;$ car pour cela il n’y aura qu’à retrancher $\mu$ de $\rho ,$ et diviser la différence par $\nu \,;$ le quotient sera le nombre $n,$ qui entre dans les formules précédentes comme exposant, et le reste sera le nombre $\varpi ,$ qui sera par conséquent toujours moindre que $\nu .$

31. Au reste, si l’on voulait trouver en général l’équation du second degré par laquelle peut être déterminée la racine $x$ de l’équation proposée, lorsqu’on a $x_{\mu +\nu }=x_{\mu },$ comme dans le n^o 24, il n’y aurait qu’à