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prendre indifféremment les supérieurs ou les inférieurs ; mais si $n$ est impair, alors il faut les prendre comme dans l’équation

$z_{\rho }=\pm 1.$

18. Corollaire II. — Si l’équation

$z=0$

a toutes ses racines réelles, je dis : 1^o que les racines $a$ ne pourront être que les racines mêmes de cette équation ; 2^o que les nombres $l$ et $\mathrm {L}$ seront nécessairement les termes de quelqu’une des fractions principales (C) convergentes vers $a,$ et jamais des fractions secondaires.

Car on ne doit prendre pour $a$ que les racines de l’équation

$z=0$

ou celles de l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0,$

qui répondent à des minimums (Problème précédent) ; or je vais prouver que, lorsque l’équation

$z=0$

a toutes ses racines réelles, il est impossible que $z$ devienne un minimum ; en effet, pour que $z$ devienne un minimum, il faut qu’on ait

${\frac {dz}{dx}}=0,$

et que la valeur de ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$ soit de même signe que celle de $z,$ c’est-à-dire que ${\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$ soit une quantité positive.

Or, nommant $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les racines de l’équation

$z=0,$

on aura, comme on sait,

$z=\mathrm {P} (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots \,;$