Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/688

et des racines imaginaires.

$\mu +\nu {\sqrt {-1}},\quad \mu -\nu {\sqrt {-1}},\quad \varpi +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \varpi -\sigma {\sqrt {-1}},\ldots ,$

et que ces dernières sont telles, que les quantités $\mu ,\varpi ,\ldots$ sont négatives, et que

$\mu ^{2}>\nu ^{2},\quad \varpi ^{2}>\sigma ^{2},\ldots ,$

la quantité $z$ ne peut jamais devenir un minimum du côté des $x$ positives.

Car on aura d’abord, comme dans le n^o 18,

${\frac {1}{z^{2}}}{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {1}{(x-\alpha )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\gamma )^{2}}}+\ldots$

$+{\frac {1}{(x-\mu -\nu {\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {1}{(x-\mu +\nu {\sqrt {-1}})^{2}}}$

$+{\frac {1}{(x-\varpi -\sigma {\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {1}{(x-\varpi +\sigma {\sqrt {-1}})^{2}}}+\ldots ,$

ou bien, en réunissant deux à deux les termes imaginaires,

${\frac {1}{z^{2}}}{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {1}{(x-\alpha )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\gamma )^{2}}}+\ldots$

$+2{\frac {(x-\mu )^{2}-\nu ^{2}}{\left(x^{2}-2\mu x+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)^{2}}}+2{\frac {(x-\varpi )^{2}-\sigma ^{2}}{\left(x^{2}-2\varpi x+\varpi ^{2}+\sigma ^{2}\right)^{2}}}+\ldots .$

Or il est clair que si $\mu ,\varpi ,\ldots$ sont négatifs et tels que $\mu ^{2}>\nu ^{2},$$\varpi ^{2}>\sigma ^{2},\ldots ,$ les quantités

$(x-\mu )^{2}-\nu ^{2},\quad (x-\varpi )^{2}-\sigma ^{2},\ldots$

seront toujours positives tant que $x$ sera positif ; donc le second membre de l’équation précédente sera aussi tout positif ; par conséquent il sera impossible que $z$ devienne un minimum (numéro cité).

Cela posé, considérons l’équation primitive $z=0,$ et supposons que cette équation ait des racines réelles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et des racines imaginaires représentées par les quantités

$\mu +\nu {\sqrt {-1}},\quad \mu -\nu {\sqrt {-1}},\quad \varpi +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \varpi -\sigma {\sqrt {-1}},\ldots \,;$