clair que le second membre de l’équation proposée serait tout divisible par donc il faudrait que le premier le fût aussi : d’où l’on voit que ce cas ne peut avoir lieu à moins que le nombre ne soit divisible par une puissance d’un nombre quelconque ; si cela n’est pas, on sera sûr que les nombres cherchés et seront nécessairement premiers entre eux. C’est ce qui arrivera toujours lorsque sera un nombre premier ; mais, lorsque est un nombre composé, il faudra voir d’abord si, parmi ses diviseurs, il en a quelqu’un qui soit une puissance ième. Supposons que soit ce diviseur, alors les nombres et pourront être ou premiers entre eux ou divisibles l’un et l’autre par ce qui formera deux cas qu’il faudra traiter séparément ; dans le second cas on fera
et, substituant ces valeurs, on aura, après avoir divisé toute l’équation par une nouvelle équation en et dans laquelle ces nombres seront premiers entre eux. Ainsi l’on peut toujours ramener l’équation proposée au cas où les deux indéterminées sont des nombres premiers entre eux.
Supposons donc l’équation proposée déjà réduite à cet état, et il pourra encore arriver que le nombre ait un diviseur commun avec le nombre supposons que soit le plus grand diviseur commun de et il est clair qu’il faudra que le terme qui est sans soit divisible par mais ne saurait l’être parce qu’il est premier à (hypothèse) ; donc il faudra que le soit ; donc devra être un diviseur commun de et
Ainsi, si et sont premiers entre eux, on sera assuré que et le seront aussi. Mais, si et ont un commun diviseurs, alors pourra être multiple de ou non ; ce qui fera deux cas qu’il faudra considérer séparément ; dans le premier on fera
et l’on aura une transformée qui sera toute divisible par et où et seront premiers entre eux ; dans le second cas et seront déjà premiers entre eux.
